Номер 49, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

49. Теорема о вписанном угле

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром $O$, $\angle ABC = 50^\circ$, $\cup AB : \cup CB = 5 : 8$. Найдите эти дуги и угол $AOC$.

Угол $ABC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $AC$. Согласно теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Отсюда мы можем найти градусную меру дуги $AC$.

$\cup AC = 2 \cdot \angle ABC$

Подставим известное значение $\angle ABC = 50^\circ$:

$\cup AC = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$

Сумма градусных мер всех дуг окружности равна $360^\circ$. Следовательно, сумма дуг $AB$ и $CB$ составляет:

$\cup AB + \cup CB = 360^\circ - \cup AC = 360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$

По условию задачи, соотношение градусных мер дуг $AB$ и $CB$ равно $5:8$.

$\cup AB : \cup CB = 5:8$

Пусть $x$ — коэффицент пропорциональности. Тогда $\cup AB = 5x$ и $\cup CB = 8x$. Составим уравнение, используя их сумму:

$5x + 8x = 260^\circ$

$13x = 260^\circ$

$x = \frac{260^\circ}{13} = 20^\circ$

Теперь найдем градусные меры дуг $AB$ и $CB$:

$\cup AB = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$

$\cup CB = 8x = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ$

Угол $AOC$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $AC$. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

$\angle AOC = \cup AC = 100^\circ$

Ответ: градусная мера дуги $AB$ равна $100^\circ$, градусная мера дуги $CB$ равна $160^\circ$, и угол $AOC$ равен $100^\circ$.