Номер 52, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

52. Соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих

$AK \cdot KB = CK \cdot KD.$

a) BD и CE — хорды одной окружности, A — точка пересечения этих хорд. $AC = 6$ см, $AE = 12$ см. AB на 1 см меньше AD. Найдите BD.

$AK \cdot KB = CK \cdot KD.$

б) Из точки A, взятой вне окружности, проведены две секущие, пересекающие окружность в точках B и C (точка B лежит между точками A и C) и в точках D и E (точка D лежит между точками A и E). Найдите длину отрезка AD, если $AB = BC = 4$, $DE = 14$.

$CK^2 = AK \cdot KB.$

в) Секущая MN проходит через диаметр окружности PN (точка P лежит между точками M и N), MK — касательная к этой окружности (K — точка касания). Найдите MK, если MK в два раза меньше MN, а радиус окружности равен 6.

а) Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Для хорд $BD$ и $CE$, которые пересекаются в точке $A$, это свойство записывается в виде формулы: $AB \cdot AD = AC \cdot AE$.

Из условия задачи нам известны следующие длины: $AC = 6$ см и $AE = 12$ см. Также дано, что отрезок $AB$ на 1 см короче отрезка $AD$. Обозначим длину $AD$ через $x$. Тогда длина $AB$ будет равна $x - 1$.

Подставим эти выражения в формулу:

$(x - 1) \cdot x = 6 \cdot 12$

$x^2 - x = 72$

$x^2 - x - 72 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Его корни можно найти, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 1, а их произведение равно -72. Этим условиям удовлетворяют числа 9 и -8.

$x_1 = 9$, $x_2 = -8$

Так как $x$ обозначает длину отрезка, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, мы выбираем корень $x = 9$.

Таким образом, мы нашли длины отрезков: $AD = 9$ см и $AB = 9 - 1 = 8$ см.

Длина всей хорды $BD$ равна сумме длин её отрезков: $BD = AB + AD = 8 + 9 = 17$ см.

Ответ: 17 см.

б) По теореме о двух секущих, проведенных из одной точки к окружности, произведение внешней части секущей на всю секущую является величиной постоянной. Для секущих, проведенных из точки $A$ и пересекающих окружность в точках $B, C$ и $D, E$, это свойство выражается формулой: $AB \cdot AC = AD \cdot AE$.

Из условия нам дано: $AB = 4$ и $BC = 4$. Следовательно, длина всей первой секущей $AC$ равна $AB + BC = 4 + 4 = 8$.

Также известно, что $DE = 14$. Обозначим искомую длину отрезка $AD$ как $x$. Тогда длина всей второй секущей $AE$ будет равна $AD + DE = x + 14$.

Подставим известные значения в формулу:

$4 \cdot 8 = x \cdot (x + 14)$

$32 = x^2 + 14x$

$x^2 + 14x - 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -32, а их сумма равна -14. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и -16.

$x_1 = 2$, $x_2 = -16$

Поскольку длина отрезка $AD$ должна быть положительной, выбираем корень $x = 2$.

Ответ: 2.

в) По теореме о касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат длины отрезка касательной равен произведению внешней части секущей на всю секущую. Для точки $M$, касательной $MK$ и секущей $MN$ формула имеет вид: $MK^2 = MP \cdot MN$.

По условию, секущая $MN$ проходит через диаметр $PN$. Радиус окружности равен 6, значит, диаметр $PN = 2 \cdot 6 = 12$.

Обозначим длину искомого отрезка $MK$ через $x$. Из условия известно, что $MK$ в два раза меньше $MN$, следовательно, $MN = 2 \cdot MK = 2x$.

Внешняя часть секущей $MP$ может быть выражена как разность длин всей секущей $MN$ и диаметра $PN$: $MP = MN - PN = 2x - 12$.

Подставим полученные выражения в основную формулу:

$x^2 = (2x - 12) \cdot (2x)$

$x^2 = 4x^2 - 24x$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$3x^2 - 24x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 8) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Длина отрезка касательной не может быть равна нулю, так как точка $M$ находится вне окружности. Поэтому единственное возможное решение — $x = 8$.

Ответ: 8.