Номер 42, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

42. Трапеция, в которую можно вписать окружность

1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB + CD = AD + BC$.

2. Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис углов трапеции.

3. Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции.

4. Треугольник $COD$ является прямоугольным и $ON^2 = CN \cdot ND$.

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 3 см, а сумма ее боковых сторон равна 20 см. Найдите площадь трапеции.

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, а $h$ — высота трапеции.

Согласно свойству трапеции, в которую вписана окружность, ее высота $h$ равна диаметру вписанной окружности. Диаметр, в свою очередь, равен удвоенному радиусу $r$. По условию, радиус вписанной окружности равен 3 см. Следовательно, высота трапеции: $h = 2r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Также для трапеции, в которую можно вписать окружность, справедливо свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Обозначим основания как $AD$ и $BC$, а боковые стороны как $AB$ и $CD$. Тогда $AD + BC = AB + CD$. Из условия известно, что сумма боковых сторон равна 20 см ($AB + CD = 20$ см). Следовательно, сумма оснований также составляет 20 см: $AD + BC = 20$ см.

Теперь, имея все необходимые данные, можем вычислить площадь трапеции: $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{20}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$ см².

Ответ: 60 см².