Номер 69, страница 15 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

69. Готовясь к уроку математики, восьмиклассник просмотрел видеоролик по соответствующей теме, размещенный на едином информационно-образовательном ресурсе (eior.by), а затем решил загрузить на компьютер два файла с дополнительными материалами. В первую секунду загрузилось $ \frac{1}{4} $ первого файла и $ \frac{1}{3} $ второго файла, что составило 340 Кбайт. За вторую секунду загрузилось $ \frac{1}{3} $ оставшейся части первого файла, что на 60 Кбайт меньше половины оставшейся части второго файла. Найдите размер каждого файла.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $x$ Кбайт — это полный размер первого файла, а $y$ Кбайт — полный размер второго файла.

1. Составление первого уравнения на основе данных за первую секунду.

За первую секунду загрузилась $\frac{1}{4}$ первого файла, что составляет $\frac{1}{4}x$ Кбайт, и $\frac{1}{3}$ второго файла, что составляет $\frac{1}{3}y$ Кбайт. Суммарно за первую секунду было загружено 340 Кбайт. Это дает нам первое уравнение:

$\frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340$

2. Составление второго уравнения на основе данных за вторую секунду.

После первой секунды загрузки от первого файла осталась часть, равная $x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$.

За вторую секунду загрузилась $\frac{1}{3}$ от этой оставшейся части, то есть: $\frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4}x) = \frac{1}{4}x$ Кбайт.

От второго файла после первой секунды осталась часть, равная $y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$.

Половина оставшейся части второго файла составляет: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}y) = \frac{1}{3}y$ Кбайт.

По условию, объем данных, загруженный от первого файла за вторую секунду ($\frac{1}{4}x$), на 60 Кбайт меньше, чем половина оставшейся части второго файла ($\frac{1}{3}y$). Это дает нам второе уравнение:

$\frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{4}x + \frac{1}{3}y = 340 \\ \frac{1}{4}x = \frac{1}{3}y - 60 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $\frac{1}{4}x$ из второго уравнения в первое:

$(\frac{1}{3}y - 60) + \frac{1}{3}y = 340$

Теперь решим полученное уравнение относительно $y$:

$\frac{2}{3}y - 60 = 340$

$\frac{2}{3}y = 340 + 60$

$\frac{2}{3}y = 400$

$y = 400 \cdot \frac{3}{2}$

$y = 600$

Итак, размер второго файла — 600 Кбайт.

Теперь найдем размер первого файла $x$, подставив значение $y=600$ во второе уравнение системы:

$\frac{1}{4}x = \frac{1}{3}(600) - 60$

$\frac{1}{4}x = 200 - 60$

$\frac{1}{4}x = 140$

$x = 140 \cdot 4$

$x = 560$

Итак, размер первого файла — 560 Кбайт.

4. Проверка решения.

• Загружено в первую секунду: $\frac{1}{4}(560) + \frac{1}{3}(600) = 140 + 200 = 340$ Кбайт. (Верно)
• Загружено от первого файла во вторую секунду: $\frac{1}{3} \cdot (560 - 140) = \frac{1}{3} \cdot 420 = 140$ Кбайт.
• Половина остатка второго файла: $\frac{1}{2} \cdot (600 - 200) = \frac{1}{2} \cdot 400 = 200$ Кбайт.
• Разница: $200 - 140 = 60$ Кбайт. (Верно)

Решение верное.

Размер первого файла: Ответ: 560 Кбайт.

Размер второго файла: Ответ: 600 Кбайт.