Номер 63, страница 14 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

63. Постройте графики уравнений системы и определите число решений системы:

а) $\begin{cases} 2x - y = 6, \\ -x + \frac{1}{2}y = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 3y = -1, \\ 2x - 6y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 2. \end{cases}$

а)Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases} 2x - y = 6, \\-x + \frac{1}{2}y = -3;\end{cases}$$Чтобы построить графики, приведем каждое уравнение к виду функции $y = kx + b$ (уравнение прямой с угловым коэффициентом).
1. Из первого уравнения $2x - y = 6$ выразим $y$:$y = 2x - 6$.
Это линейная функция, ее график – прямая. Для построения найдем две точки, принадлежащие этой прямой:

• при $x=0$, $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$. Получаем точку (0, -6).
• при $x=3$, $y = 2 \cdot 3 - 6 = 0$. Получаем точку (3, 0).

2. Рассмотрим второе уравнение $-x + \frac{1}{2}y = -3$.
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:$2 \cdot (-x + \frac{1}{2}y) = 2 \cdot (-3)$
$-2x + y = -6$
Теперь выразим $y$:$y = 2x - 6$.
Мы получили то же самое уравнение, что и в первом случае. Это означает, что графики обоих уравнений системы являются одной и той же прямой.

Вывод: Так как графики уравнений системы совпадают, система имеет бесконечное множество решений. Любая точка, лежащая на прямой $y = 2x - 6$, является решением системы.
Ответ: бесконечно много решений.

б)Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases} x - 3y = -1, \\2x - 6y = 2;\end{cases}$$Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.
1. Из первого уравнения $x - 3y = -1$ выразим $y$:$3y = x + 1$$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.
Угловой коэффициент этой прямой $k_1 = \frac{1}{3}$. Найдем две точки для построения:

• при $x=2$, $y = \frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка (2, 1).
• при $x=-1$, $y = \frac{1}{3} \cdot (-1) + \frac{1}{3} = 0$. Точка (-1, 0).

2. Из второго уравнения $2x - 6y = 2$ выразим $y$. Сначала можно упростить уравнение, разделив обе части на 2:$x - 3y = 1$
Теперь выразим $y$:$3y = x - 1$$y = \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}$.
Угловой коэффициент этой прямой $k_2 = \frac{1}{3}$. Найдем две точки для построения:

• при $x=1$, $y = \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} = 0$. Точка (1, 0).
• при $x=4$, $y = \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка (4, 1).

Вывод: Угловые коэффициенты прямых равны ($k_1 = k_2 = \frac{1}{3}$), а y-пересечения (свободные члены) различны ($b_1 = \frac{1}{3}$ и $b_2 = -\frac{1}{3}$). Это означает, что прямые параллельны и никогда не пересекаются.

Поскольку графики уравнений являются параллельными прямыми, они не имеют общих точек, и, следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

в)Рассмотрим систему уравнений:$$\begin{cases} x + y = 1, \\x - y = 2;\end{cases}$$Приведем каждое уравнение к виду $y = kx + b$.
1. Из первого уравнения $x + y = 1$ выразим $y$:$y = -x + 1$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k_1 = -1$. Найдем две точки для построения:

• при $x=0$, $y = -0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
• при $x=1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка (1, 0).

2. Из второго уравнения $x - y = 2$ выразим $y$:$y = x - 2$.
Это прямая с угловым коэффициентом $k_2 = 1$. Найдем две точки для построения:

• при $x=0$, $y = 0 - 2 = -2$. Точка (0, -2).
• при $x=2$, $y = 2 - 2 = 0$. Точка (2, 0).

Вывод: Угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 = -1 \neq k_2 = 1$), следовательно, прямые пересекаются в одной точке. Это означает, что система имеет единственное решение.

Чтобы найти это решение (координаты точки пересечения), решим систему. Метод сложения здесь очень удобен. Сложим два уравнения системы:$(x + y) + (x - y) = 1 + 2$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение $x + y = 1$:$\frac{3}{2} + y = 1$
$y = 1 - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$
Точка пересечения графиков имеет координаты $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$. Представим неправильную дробь $x = \frac{3}{2}$ в виде смешанного числа: $x = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: одно решение. Координаты точки пересечения: $x = \mathbf{1}\frac{1}{2}, y = -\frac{1}{2}$.