Номер 61, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

61. Постройте график функции $y = (\frac{1}{2}x+3)(\frac{1}{3}x-4)-\frac{x^2}{6}+8.$

Для построения графика функции $y = (\frac{1}{2}x+3)(\frac{1}{3}x-4) - \frac{x^2}{6} + 8$ необходимо сначала упростить данное выражение.

1. Упрощение уравнения функции.
Раскроем скобки, перемножив два двучлена, используя правило фонтана (FOIL):
$(\frac{1}{2}x+3)(\frac{1}{3}x-4) = \frac{1}{2}x \cdot \frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x \cdot (-4) + 3 \cdot \frac{1}{3}x + 3 \cdot (-4) = \frac{1}{6}x^2 - 2x + x - 12 = \frac{1}{6}x^2 - x - 12$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение функции:
$y = (\frac{1}{6}x^2 - x - 12) - \frac{x^2}{6} + 8$.
Приведем подобные слагаемые. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:
$y = \frac{1}{6}x^2 - \frac{x^2}{6} - x - 12 + 8$
$y = -x - 4$.
Ответ: Упрощенное уравнение функции: $y = -x - 4$.

2. Построение графика.
Функция $y = -x - 4$ является линейной, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек. Удобнее всего найти точки пересечения с осями координат.

• Найдем точку пересечения с осью ординат (OY), подставив $x=0$:
  $y = -0 - 4 = -4$.
  Получаем первую точку с координатами $(0; -4)$.
• Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX), подставив $y=0$:
  $0 = -x - 4$, откуда следует, что $x = -4$.
  Получаем вторую точку с координатами $(-4; 0)$.

Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки $(0; -4)$ и $(-4; 0)$ и провести через них прямую линию. Эта прямая и будет являться искомым графиком.
Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки $(0; -4)$ и $(-4; 0)$.