Номер 54, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

54. Найдите наибольшее целое решение неравенства

$(x-6)^2 \ge (x+6)(x-6)+0,5.$

Для решения данного неравенства необходимо сначала упростить его, раскрыв скобки в обеих частях.

Исходное неравенство:

$(x-6)^2 \ge (x+6)(x-6) + 0,5$

1. Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x-6)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36$

2. Раскроем скобки в правой части, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(x+6)(x-6) = x^2 - 6^2 = x^2 - 36$

3. Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$x^2 - 12x + 36 \ge (x^2 - 36) + 0,5$

Упростим правую часть:

$x^2 - 12x + 36 \ge x^2 - 35,5$

4. Теперь перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а свободные члены — в другую. Для этого вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства:

$-12x + 36 \ge -35,5$

Вычтем 36 из обеих частей:

$-12x \ge -35,5 - 36$

$-12x \ge -71,5$

5. Разделим обе части неравенства на -12. Важно помнить, что при делении неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$):

$x \le \frac{-71,5}{-12}$

$x \le \frac{71,5}{12}$

6. Для нахождения наибольшего целого решения преобразуем дробь. Представим $71,5$ как $\frac{143}{2}$:

$x \le \frac{143/2}{12} = \frac{143}{2 \cdot 12} = \frac{143}{24}$

Теперь выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{143}{24}$, выполнив деление с остатком:

$143 \div 24 = 5$ и остаток $23$.

Следовательно, $\frac{143}{24} = \mathbf{5}\frac{23}{24}$.

Неравенство принимает вид:

$x \le 5\frac{23}{24}$

7. Согласно условию, нам нужно найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству. На числовой прямой это все целые числа, которые находятся левее или совпадают с точкой $5\frac{23}{24}$. Такими числами являются $..., 3, 4, 5$. Самое большое из них — это 5.

Наибольшее целое решение неравенства: Ответ: 5