Номер 50, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

50. Найдите все значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения:

a) $y = \frac{1}{2}(3x - 1) - 10;$

б) $y = -\frac{2}{3}(4x + 7) + 8.$

Чтобы найти все значения аргумента (x), при которых функция (y) принимает положительные значения, необходимо для каждой функции решить неравенство $y > 0$.

а) Дана функция $y = \frac{1}{2}(3x - 1) - 10$.

Составим и решим неравенство $y > 0$:

$\frac{1}{2}(3x - 1) - 10 > 0$

Перенесем $-10$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$\frac{1}{2}(3x - 1) > 10$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3x - 1 > 20$

Перенесем $-1$ в правую часть, изменив знак:

$3x > 20 + 1$

$3x > 21$

Разделим обе части неравенства на 3:

$x > \frac{21}{3}$

$x > 7$

Таким образом, функция принимает положительные значения при $x \in (7; +\infty)$.

Ответ: $x > 7$.

б) Дана функция $y = -\frac{2}{3}(4x + 7) + 8$.

Составим и решим неравенство $y > 0$:

$-\frac{2}{3}(4x + 7) + 8 > 0$

Перенесем $8$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$-\frac{2}{3}(4x + 7) > -8$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с ">" на "<"):

$\frac{2}{3}(4x + 7) < 8$

Умножим обе части на обратную дробь $\frac{3}{2}$:

$4x + 7 < 8 \cdot \frac{3}{2}$

$4x + 7 < 12$

Перенесем $7$ в правую часть, изменив знак:

$4x < 12 - 7$

$4x < 5$

Разделим обе части неравенства на 4:

$x < \frac{5}{4}$

Поскольку $\frac{5}{4}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть:

$\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Таким образом, функция принимает положительные значения при $x < 1\frac{1}{4}$, то есть $x \in (-\infty; 1\frac{1}{4})$.

Ответ: $x < 1\frac{1}{4}$.