Номер 44, страница 11 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

44. Решите уравнение:

a) $(2x + 3)^2 - 10 = 2x(2x + 5);$

б) $(x - 2)(x - 3) - 12 = (x - 6)(x + 1).$

а) $(2x + 3)^2 - 10 = 2x(2x + 5)$

Для решения данного уравнения необходимо раскрыть скобки в обеих его частях. В левой части применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, а в правой части воспользуемся распределительным свойством умножения.

$(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - 10 = 2x \cdot 2x + 2x \cdot 5$

Выполним вычисления:

$4x^2 + 12x + 9 - 10 = 4x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$4x^2 + 12x - 1 = 4x^2 + 10x$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.

$4x^2 - 4x^2 + 12x - 10x = 1$

Снова приведем подобные слагаемые:

$2x = 1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

б) $(x - 2)(x - 3) - 12 = (x - 6)(x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения, перемножая многочлены:

$(x \cdot x - x \cdot 3 - 2 \cdot x + (-2) \cdot (-3)) - 12 = x \cdot x + x \cdot 1 - 6 \cdot x - 6 \cdot 1$

$(x^2 - 3x - 2x + 6) - 12 = x^2 + x - 6x - 6$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок и в правой части:

$x^2 - 5x + 6 - 12 = x^2 - 5x - 6$

Упростим левую часть:

$x^2 - 5x - 6 = x^2 - 5x - 6$

Мы получили тождественное равенство. Это означает, что левая и правая части уравнения равны при любом значении переменной $x$. Для проверки можно перенести все члены в одну сторону:

$(x^2 - 5x - 6) - (x^2 - 5x - 6) = 0$

$0 = 0$

Полученное верное числовое равенство $0 = 0$ подтверждает, что исходное уравнение является тождеством. Следовательно, решением уравнения является любое число.

Ответ: $x$ — любое число.