Номер 42, страница 10 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

42. Найдите корни уравнения:

a) $ \frac{x+2}{9} - \frac{x-1}{18} = 1; $

б) $ \frac{8-x}{2} - \frac{3-x}{6} = \frac{x+7}{15}. $

а) Найдем корень уравнения $\frac{x+2}{9} - \frac{x-1}{18} = 1$.

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 9 и 18, которое равно 18.

$18 \cdot \left(\frac{x+2}{9} - \frac{x-1}{18}\right) = 1 \cdot 18$

$18 \cdot \frac{x+2}{9} - 18 \cdot \frac{x-1}{18} = 18$

Сокращаем дроби, получая дополнительные множители для числителей:

$2(x+2) - 1(x-1) = 18$

Раскрываем скобки. Важно помнить, что минус перед второй дробью меняет знаки в числителе:

$2x + 4 - x + 1 = 18$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2x - x) + (4+1) = 18$

$x + 5 = 18$

Переносим 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком, чтобы найти $x$:

$x = 18 - 5$

$x = 13$

Ответ: 13

б) Найдем корень уравнения $\frac{8-x}{2} - \frac{3-x}{6} = \frac{x+7}{15}$.

Найдем наименьший общий знаменатель для 2, 6 и 15. Разложим знаменатели на простые множители: $2=2$, $6=2 \cdot 3$, $15=3 \cdot 5$. Наименьший общий знаменатель равен $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Умножим обе части уравнения на 30:

$30 \cdot \frac{8-x}{2} - 30 \cdot \frac{3-x}{6} = 30 \cdot \frac{x+7}{15}$

Сокращаем дроби:

$15(8-x) - 5(3-x) = 2(x+7)$

Раскрываем скобки:

$120 - 15x - 15 + 5x = 2x + 14$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(120 - 15) + (-15x + 5x) = 2x + 14$

$105 - 10x = 2x + 14$

Переносим слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа - в другую:

$105 - 14 = 2x + 10x$

$91 = 12x$

Находим $x$:

$x = \frac{91}{12}$

Полученная дробь является неправильной. Выделим из нее целую часть, разделив 91 на 12 с остатком:

$91 \div 12 = 7$ (остаток $91 - 12 \cdot 7 = 91 - 84 = 7$)

Следовательно, $x = 7\frac{7}{12}$.

Ответ: 7$\frac{7}{12}$