Номер 35, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

35. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

а) $a^2 - 10a + 25;$

б) $16x^2 + 8x + 1;$

в) $40ab + 16a^2 + 25b^2;$

г) $m^8 + 4n^2 - 4m^4n.$

а) Для того чтобы представить трехчлен $a^2 - 10a + 25$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим компоненты нашего выражения:

• Первый член $a^2$ является квадратом выражения $a$.
• Третий член $25$ является квадратом числа $5$.
• Средний член $-10a$ можно представить как удвоенное произведение первого и второго членов: $-2 \cdot a \cdot 5$.

Таким образом, трехчлен полностью соответствует формуле квадрата разности.
$a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2$.
Ответ: $(a-5)^2$.

б) Для трехчлена $16x^2 + 8x + 1$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Определим компоненты нашего выражения:

• Первый член $16x^2$ является квадратом выражения $4x$, так как $(4x)^2 = 16x^2$.
• Третий член $1$ является квадратом числа $1$.
• Средний член $8x$ можно представить как удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 4x \cdot 1$.

Трехчлен соответствует формуле квадрата суммы.
$16x^2 + 8x + 1 = (4x + 1)^2$.
Ответ: $(4x+1)^2$.

в) Сначала перегруппируем члены многочлена $40ab + 16a^2 + 25b^2$ для приведения к стандартному виду: $16a^2 + 40ab + 25b^2$.
Далее применяем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Определим компоненты нашего выражения:

• Первый член $16a^2$ является квадратом выражения $4a$.
• Третий член $25b^2$ является квадратом выражения $5b$.
• Средний член $40ab$ можно представить как удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 4a \cdot 5b$.

Следовательно, выражение является квадратом суммы.
$16a^2 + 40ab + 25b^2 = (4a + 5b)^2$.
Ответ: $(4a+5b)^2$.

г) Перегруппируем члены многочлена $m^8 + 4n^2 - 4m^4n$ для приведения к стандартному виду: $m^8 - 4m^4n + 4n^2$.
Применяем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Определим компоненты нашего выражения:

• Первый член $m^8$ является квадратом выражения $m^4$, так как $(m^4)^2 = m^{4 \cdot 2} = m^8$.
• Третий член $4n^2$ является квадратом выражения $2n$.
• Средний член $-4m^4n$ можно представить как удвоенное произведение первого и второго членов со знаком минус: $-2 \cdot m^4 \cdot 2n$.

Таким образом, выражение является квадратом разности.
$m^8 - 4m^4n + 4n^2 = (m^4 - 2n)^2$.
Ответ: $(m^4-2n)^2$.