Номер 29, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

29. Преобразуйте в многочлен:

а) $ (-b + 6)^2; $

б) $ (-k - 1)^2; $

в) $ (-5a + 2b)^2; $

г) $ (-7a + \frac{1}{7}b)^2. $

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
• Квадрат разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Также полезно помнить, что для любого выражения $A$ справедливо равенство $(-A)^2 = A^2$.

а) $(-b + 6)^2$;
Для преобразования этого выражения в многочлен, мы можем поменять слагаемые местами и применить формулу квадрата разности:
$(-b + 6)^2 = (6 - b)^2$
Применим формулу $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = 6$ и $y = b$:
$(6 - b)^2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot b + b^2 = 36 - 12b + b^2$
Запишем результат в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной):
$b^2 - 12b + 36$
Ответ: $b^2 - 12b + 36$

б) $(-k - 1)^2$;
Вынесем знак минус за скобки. Так как выражение возводится в квадрат, минус исчезнет:
$(-k - 1)^2 = (-(k + 1))^2 = (k + 1)^2$
Теперь используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = k$ и $y = 1$:
$(k + 1)^2 = k^2 + 2 \cdot k \cdot 1 + 1^2 = k^2 + 2k + 1$
Ответ: $k^2 + 2k + 1$

в) $(-5a + 2b)^2$;
Применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, считая, что $x = -5a$ и $y = 2b$:
$(-5a + 2b)^2 = (-5a)^2 + 2 \cdot (-5a) \cdot (2b) + (2b)^2$
Выполним возведение в степень и умножение:
$25a^2 - 20ab + 4b^2$
Ответ: $25a^2 - 20ab + 4b^2$

г) $(-7a + \frac{1}{7}b)^2$.
Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = -7a$ и $y = \frac{1}{7}b$:
$(-7a + \frac{1}{7}b)^2 = (-7a)^2 + 2 \cdot (-7a) \cdot (\frac{1}{7}b) + (\frac{1}{7}b)^2$
Рассчитаем каждый член многочлена:

• Квадрат первого слагаемого: $(-7a)^2 = 49a^2$
• Удвоенное произведение слагаемых: $2 \cdot (-7a) \cdot (\frac{1}{7}b) = -14a \cdot \frac{1}{7}b = -2ab$
• Квадрат второго слагаемого: $(\frac{1}{7}b)^2 = \frac{1^2}{7^2}b^2 = \frac{1}{49}b^2$

Объединим полученные члены:
$49a^2 - 2ab + \frac{1}{49}b^2$
Ответ: $49a^2 - 2ab + \frac{1}{49}b^2$