Номер 22, страница 7 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

22. Приведите к стандартному виду $(2\frac{1}{3}a^4b^8)^2 \cdot (-1\frac{2}{7}a^5b^{12})$.

Для того чтобы привести выражение к стандартному виду, необходимо последовательно выполнить все указанные в нем математические операции, а затем сгруппировать числовой коэффициент и переменные.

Исходное выражение:

$(2\frac{1}{3}a^4b^8)^2 \cdot (-1\frac{2}{7}a^5b^{12})$

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Это необходимо для удобства дальнейших вычислений, в частности для возведения в степень и умножения.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$-1\frac{2}{7} = -(\frac{1 \cdot 7 + 2}{7}) = -\frac{9}{7}$

После подстановки выражение примет вид:

$(\frac{7}{3}a^4b^8)^2 \cdot (-\frac{9}{7}a^5b^{12})$

2. Возведем в квадрат первый множитель.

Используем свойство возведения в степень произведения $(x \cdot y \cdot z)^n = x^n \cdot y^n \cdot z^n$ и свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(\frac{7}{3}a^4b^8)^2 = (\frac{7}{3})^2 \cdot (a^4)^2 \cdot (b^8)^2 = \frac{7^2}{3^2} a^{4 \cdot 2} b^{8 \cdot 2} = \frac{49}{9} a^8 b^{16}$

3. Перемножим полученные одночлены.

Теперь необходимо умножить результат из шага 2 на второй множитель:

$(\frac{49}{9} a^8 b^{16}) \cdot (-\frac{9}{7}a^5b^{12})$

Сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:

$(\frac{49}{9} \cdot -\frac{9}{7}) \cdot (a^8 \cdot a^5) \cdot (b^{16} \cdot b^{12})$

Вычислим произведение для каждой группы:

• Коэффициенты: $\frac{49}{9} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{49 \cdot 9}{9 \cdot 7} = -\frac{49}{7} = -7$
• Переменная a: $a^8 \cdot a^5 = a^{8+5} = a^{13}$ (по свойству умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$)
• Переменная b: $b^{16} \cdot b^{12} = b^{16+12} = b^{28}$

4. Запишем итоговый результат.

Объединив полученные части, мы получим одночлен в стандартном виде:

Ответ: $-7a^{13}b^{28}$