Номер 36, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

36. Разложите на множители двучлен:

а) $n^2 - 16$;

б) $25 - 9a^2$;

в) $36a^2 - 81b^4$;

г) $m^2n^2 - 1$;

д) $9a^{12} - 25$;

е) $x^{18} - y^6$.

Для разложения всех двучленов на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В некоторых случаях также применяются формулы разности и суммы кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ и $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

а) $n^2 - 16$
Представим данный двучлен в виде разности квадратов. Число 16 является квадратом числа 4 ($16 = 4^2$).
$n^2 - 16 = n^2 - 4^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a=n$ и $b=4$:
$n^2 - 4^2 = (n-4)(n+4)$
Ответ: $(n-4)(n+4)$.

б) $25 - 9a^2$
Представим каждый член двучлена в виде квадрата: $25 = 5^2$ и $9a^2 = (3a)^2$.
$25 - 9a^2 = 5^2 - (3a)^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a=5$ и $b=3a$:
$5^2 - (3a)^2 = (5-3a)(5+3a)$
Ответ: $(5-3a)(5+3a)$.

в) $36a^2 - 81b^4$
Сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 9.
$36a^2 - 81b^4 = 9(4a^2 - 9b^4)$
Теперь разложим выражение в скобках, которое представляет собой разность квадратов. Представим $4a^2$ как $(2a)^2$ и $9b^4$ как $(3b^2)^2$.
$9( (2a)^2 - (3b^2)^2 )$
Применим формулу разности квадратов, где $a=2a$ и $b=3b^2$:
$9(2a-3b^2)(2a+3b^2)$
Ответ: $9(2a-3b^2)(2a+3b^2)$.

г) $m^2n^2 - 1$
Представим двучлен в виде разности квадратов: $m^2n^2 = (mn)^2$ и $1 = 1^2$.
$m^2n^2 - 1 = (mn)^2 - 1^2$
Применим формулу, где $a=mn$ и $b=1$:
$(mn-1)(mn+1)$
Ответ: $(mn-1)(mn+1)$.

д) $9a^{12} - 25$
Представим каждый член в виде квадрата: $9a^{12} = (3a^6)^2$ и $25 = 5^2$.
$9a^{12} - 25 = (3a^6)^2 - 5^2$
Применим формулу разности квадратов, где $a=3a^6$ и $b=5$:
$(3a^6-5)(3a^6+5)$
Ответ: $(3a^6-5)(3a^6+5)$.

е) $x^{18} - y^6$
Сначала представим выражение как разность квадратов: $x^{18} = (x^9)^2$ и $y^6 = (y^3)^2$.
$x^{18} - y^6 = (x^9)^2 - (y^3)^2 = (x^9 - y^3)(x^9 + y^3)$
Теперь каждый из полученных множителей можно разложить дальше, используя формулы разности и суммы кубов.
1. Разложим $(x^9 - y^3)$. Это разность кубов, так как $x^9 = (x^3)^3$.
$x^9 - y^3 = (x^3)^3 - y^3 = (x^3-y)((x^3)^2 + x^3 \cdot y + y^2) = (x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)$
2. Разложим $(x^9 + y^3)$. Это сумма кубов.
$x^9 + y^3 = (x^3)^3 + y^3 = (x^3+y)((x^3)^2 - x^3 \cdot y + y^2) = (x^3+y)(x^6-x^3y+y^2)$
Объединим все множители для получения окончательного ответа:
$(x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)(x^3+y)(x^6-x^3y+y^2)$
Сгруппировав множители, получим:
$(x^3-y)(x^3+y)(x^6-x^3y+y^2)(x^6+x^3y+y^2)$
Ответ: $(x^3-y)(x^3+y)(x^6-x^3y+y^2)(x^6+x^3y+y^2)$.