Номер 37, страница 9 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

37. Представьте многочлен в виде произведения:

а) $10a^2 - 10$;

б) $5a^3 - 5a$;

в) $3b^3 - 3bc^2$;

г) $-4x^5 + 4x^3 - x$;

д) $a - 5b + a^2 - 25b^2$;

е) $mk^6 - mk^4 - k^6 + k^4$.

а) Чтобы представить многочлен $10a^2 - 10$ в виде произведения, необходимо вынести общий множитель за скобки. Общим множителем для обоих слагаемых является 10.
$10a^2 - 10 = 10(a^2 - 1)$
Выражение в скобках $a^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^2 - 1 = a^2 - 1^2 = (a - 1)(a + 1)$
Таким образом, окончательное разложение на множители имеет вид:
$10(a - 1)(a + 1)$
Ответ: $10(a - 1)(a + 1)$

б) В многочлене $5a^3 - 5a$ вынесем за скобки общий множитель $5a$.
$5a^3 - 5a = 5a(a^2 - 1)$
Выражение в скобках $a^2 - 1$ также является разностью квадратов:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$
Следовательно, итоговое произведение:
$5a(a - 1)(a + 1)$
Ответ: $5a(a - 1)(a + 1)$

в) В многочлене $3b^3 - 3bc^2$ вынесем за скобки общий множитель $3b$.
$3b^3 - 3bc^2 = 3b(b^2 - c^2)$
Выражение в скобках $b^2 - c^2$ является разностью квадратов и раскладывается на множители по формуле:
$b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$
Следовательно, итоговое произведение:
$3b(b - c)(b + c)$
Ответ: $3b(b - c)(b + c)$

г) Для многочлена $-4x^5 + 4x^3 - x$ вынесем за скобки общий множитель $-x$. Вынесение знака "минус" поможет получить в скобках выражение с положительным старшим коэффициентом.
$-4x^5 + 4x^3 - x = -x(4x^4 - 4x^2 + 1)$
Выражение в скобках $4x^4 - 4x^2 + 1$ представляет собой полный квадрат разности, который соответствует формуле $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$. В нашем случае $p = 2x^2$ и $q = 1$.
$(2x^2 - 1)^2 = (2x^2)^2 - 2 \cdot (2x^2) \cdot 1 + 1^2 = 4x^4 - 4x^2 + 1$
Таким образом, итоговое произведение:
$-x(2x^2 - 1)^2$
Ответ: $-x(2x^2 - 1)^2$

д) Для разложения многочлена $a - 5b + a^2 - 25b^2$ на множители используем метод группировки слагаемых.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(a - 5b) + (a^2 - 25b^2)$.
Вторая группа $a^2 - 25b^2$ является разностью квадратов:
$a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$
Теперь подставим разложенную часть обратно в выражение:
$(a - 5b) + (a - 5b)(a + 5b)$
Вынесем общий множитель $(a - 5b)$ за скобки:
$(a - 5b)(1 + (a + 5b)) = (a - 5b)(1 + a + 5b)$
Ответ: $(a - 5b)(a + 5b + 1)$

е) Для разложения многочлена $mk^6 - mk^4 - k^6 + k^4$ используем метод группировки.
Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:
$(mk^6 - mk^4) + (-k^6 + k^4)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$mk^4(k^2 - 1) - k^4(k^2 - 1)$
Теперь вынесем общий множитель $k^4(k^2 - 1)$ за скобки:
$k^4(k^2 - 1)(m - 1)$
Выражение $k^2 - 1$ является разностью квадратов и может быть разложено дальше:
$k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1)$
Окончательный вид произведения:
$k^4(m - 1)(k - 1)(k + 1)$
Ответ: $k^4(m - 1)(k - 1)(k + 1)$