Номер 32, страница 8 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

32. Решите уравнение $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79.$

Для решения данного уравнения необходимо последовательно выполнить следующие шаги: раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения, привести подобные слагаемые и решить полученное линейное уравнение.

1. Раскрытие скобок

Исходное уравнение: $(x + 6)^2 - (x - 5)(x + 5) = 79$

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ к первому слагаемому:

$(x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36$

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ ко второму слагаемому:

$(x - 5)(x + 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

2. Упрощение уравнения

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

$(x^2 + 12x + 36) - (x^2 - 25) = 79$

Раскроем скобки. Знак "минус" перед вторым выражением меняет знаки всех его членов на противоположные:

$x^2 + 12x + 36 - x^2 + 25 = 79$

Приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:

$12x + (36 + 25) = 79$

$12x + 61 = 79$

3. Решение линейного уравнения

Перенесем 61 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$12x = 79 - 61$

$12x = 18$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 12:

$x = \frac{18}{12}$

4. Финальный результат

Сократим полученную дробь на 6:

$x = \frac{3}{2}$

Чтобы выделить целую часть, представим неправильную дробь в виде смешанного числа:

$x = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $x = \mathbf{1}\frac{1}{2}$