Номер 53, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

53. Решите неравенство:

a) $(x - 7)^2 \leq x(x - 14);$

б) $(2x - 5)^2 - 0,5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15.$

a) Решим неравенство $(x-7)^2 \le x(x-14)$.

Сначала раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, а в правой части применим распределительный закон умножения.

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 \le x \cdot x - x \cdot 14$

$x^2 - 14x + 49 \le x^2 - 14x$

Теперь перенесем все члены из правой части неравенства в левую, изменив их знаки на противоположные.

$x^2 - 14x + 49 - x^2 + 14x \le 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-14x + 14x) + 49 \le 0$

$0 + 0 + 49 \le 0$

$49 \le 0$

В результате мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что не существует значений переменной $x$, при которых исходное неравенство было бы верным.

Ответ: решений нет ($\emptyset$).

б) Решим неравенство $(2x-5)^2 - 0,5x < (2x-1)(2x+1) - 15$.

Для начала раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В правой части — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2) - 0,5x < ((2x)^2 - 1^2) - 15$

$(4x^2 - 20x + 25) - 0,5x < (4x^2 - 1) - 15$

Упростим выражения в обеих частях, приведя подобные слагаемые:

$4x^2 - 20,5x + 25 < 4x^2 - 16$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные члены — в правую часть неравенства.

$4x^2 - 20,5x - 4x^2 < -16 - 25$

Снова приведем подобные слагаемые:

$-20,5x < -41$

Разделим обе части неравенства на $-20,5$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с "$<$" на "$>$").

$x > \frac{-41}{-20,5}$

$x > \frac{41}{20,5}$

Чтобы упростить дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 2:

$x > \frac{41 \cdot 2}{20,5 \cdot 2} = \frac{82}{41}$

$x > 2$

Таким образом, решением неравенства являются все числа, строго большие 2. Это можно записать в виде числового промежутка от 2 до $+\infty$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.