Номер 57, страница 12 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

57. Постройте графики функций $y = 2x - 3$; $y = -x + 5$; $y = \frac{x}{2}$ и $y = -2$. Для каждой из функций найдите:

а) область определения;

б) множество значений;

в) нули;

г) значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения;

д) угловой коэффициент прямой;

е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

Все представленные функции являются линейными вида $y = kx + b$. Их графики – прямые линии. Для построения графика каждой функции достаточно найти координаты двух точек.

1. Функция $y = 2x - 3$

Для построения графика найдем две точки, принадлежащие прямой:

• При $x=0$, $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• При $x=2$, $y = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Проведем прямую через эти две точки. Далее найдем требуемые характеристики функции.

• а) область определения: Ответ: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• б) множество значений: Ответ: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• в) нули: Ответ: Для нахождения нулей функции решим уравнение $y=0$:
  $2x - 3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
  Нуль функции: $x = \mathbf{1}\frac{1}{2}$.
• г) значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения: Ответ:
  • Функция принимает положительные значения ($y>0$) при $2x-3>0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > 1\frac{1}{2}$. То есть при $x \in (1\frac{1}{2}; +\infty)$.
  • Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) при $2x-3<0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < 1\frac{1}{2}$. То есть при $x \in (-\infty; 1\frac{1}{2})$.
• д) угловой коэффициент прямой: Ответ: В уравнении $y=2x-3$ коэффициент при $x$ равен 2, следовательно, угловой коэффициент $k=2$.
• е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат: Ответ: Точка пересечения с осью ординат (осью Oy) имеет абсциссу $x=0$.
  $y(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
  Координаты точки: $(0, -3)$.

2. Функция $y = -x + 5$

Для построения графика найдем две точки:

• При $x=0$, $y = -0 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• При $x=5$, $y = -5 + 5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

• а) область определения: Ответ: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• б) множество значений: Ответ: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• в) нули: Ответ: Решим уравнение $y=0$:
  $-x + 5 = 0 \Rightarrow x = 5$.
  Нуль функции: $x = 5$.
• г) значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения: Ответ:
  • Функция принимает положительные значения ($y>0$) при $-x+5>0 \Rightarrow 5 > x \Rightarrow x < 5$. То есть при $x \in (-\infty; 5)$.
  • Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) при $-x+5<0 \Rightarrow 5 < x \Rightarrow x > 5$. То есть при $x \in (5; +\infty)$.
• д) угловой коэффициент прямой: Ответ: В уравнении $y=-x+5$ коэффициент при $x$ равен -1, следовательно, $k=-1$.
• е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат: Ответ: При $x=0$, $y = -0 + 5 = 5$.
  Координаты точки: $(0, 5)$.

3. Функция $y = \frac{x}{2}$

Данную функцию можно записать как $y = \frac{1}{2}x$. Это прямая пропорциональность, ее график проходит через начало координат. Найдем еще одну точку:

• При $x=2$, $y = \frac{2}{2} = 1$. Точка $(2, 1)$.

Проведем прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

• а) область определения: Ответ: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• б) множество значений: Ответ: Множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• в) нули: Ответ: Решим уравнение $y=0$:
  $\frac{x}{2} = 0 \Rightarrow x = 0$.
  Нуль функции: $x = 0$.
• г) значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения: Ответ:
  • Функция принимает положительные значения ($y>0$) при $\frac{x}{2}>0 \Rightarrow x > 0$. То есть при $x \in (0; +\infty)$.
  • Функция принимает отрицательные значения ($y<0$) при $\frac{x}{2}<0 \Rightarrow x < 0$. То есть при $x \in (-\infty; 0)$.
• д) угловой коэффициент прямой: Ответ: В уравнении $y=\frac{1}{2}x$ коэффициент при $x$ равен $\frac{1}{2}$, следовательно, $k=\frac{1}{2}$.
• е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат: Ответ: При $x=0$, $y = \frac{0}{2} = 0$.
  Координаты точки: $(0, 0)$.

4. Функция $y = -2$

Это постоянная функция. Ее график — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -2)$ параллельно оси абсцисс (оси Ox).

• а) область определения: Ответ: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• б) множество значений: Ответ: Функция принимает только одно значение, $E(y) = \{-2\}$.
• в) нули: Ответ: Уравнение $-2 = 0$ не имеет решений. Следовательно, у функции нет нулей (график не пересекает ось Ox).
• г) значения аргумента, при которых функция принимает положительные и отрицательные значения: Ответ:
  • Функция никогда не принимает положительные значения, так как $y=-2$ для любого $x$.
  • Функция всегда принимает отрицательные значения, так как $y=-2 < 0$ для любого $x$. То есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.
• д) угловой коэффициент прямой: Ответ: Функцию можно записать как $y=0 \cdot x - 2$. Угловой коэффициент $k=0$.
• е) координаты точки пересечения графика функции с осью ординат: Ответ: При $x=0$, $y = -2$.
  Координаты точки: $(0, -2)$.