Номер 59, страница 13 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

59. Дана линейная функция $y = 4x + b$. Найдите значение $b$, при котором график этой функции:

а) проходит через начало координат;

б) проходит через точку $P(-2; 1)$;

в) пересекает ось $Oy$ в точке с ординатой 5;

г) проходит через точку пересечения графиков функций $y = 0.5x + 1$ и $y = x - 1$.

Дана линейная функция $y = 4x + b$. Чтобы найти значение коэффициента $b$, мы будем использовать координаты точек, которые по условию принадлежат графику этой функции. Если точка принадлежит графику, ее координаты $(x; y)$ должны удовлетворять уравнению функции.

а) проходит через начало координат;
Начало координат — это точка с координатами $(0; 0)$. Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение функции:
$0 = 4 \cdot 0 + b$
$0 = 0 + b$
$b = 0$
Ответ: 0

б) проходит через точку P(-2; 1);
Подставим координаты точки $P$, то есть $x = -2$ и $y = 1$, в уравнение функции:
$1 = 4 \cdot (-2) + b$
$1 = -8 + b$
$b = 1 + 8$
$b = 9$
Ответ: 9

в) пересекает ось Oy в точке с ординатой 5;
Точка пересечения с осью $Oy$ имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю. По условию, ордината (координата $y$) равна 5. Следовательно, график проходит через точку $(0; 5)$. Подставим эти координаты в уравнение:
$5 = 4 \cdot 0 + b$
$5 = 0 + b$
$b = 5$
Ответ: 5

г) проходит через точку пересечения графиков функций $y = 0,5x + 1$ и $y = x - 1$.
Сначала найдем точку пересечения двух заданных графиков. В этой точке их координаты $x$ и $y$ совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений:
$0,5x + 1 = x - 1$
Решим это уравнение относительно $x$:
$1 + 1 = x - 0,5x$
$2 = 0,5x$
$x = \frac{2}{0,5} = 4$
Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x=4$ в любое из двух уравнений (например, во второе):
$y = 4 - 1 = 3$
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(4; 3)$.
По условию, график функции $y = 4x + b$ проходит через эту точку. Подставим координаты $(4; 3)$ в это уравнение:
$3 = 4 \cdot 4 + b$
$3 = 16 + b$
$b = 3 - 16$
$b = -13$
Ответ: -13