Номер 1.6, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.6. Выберите уравнения, имеющие два корня:

а) $x^2 = 49$;

б) $x^2 = 0$;

в) $x^2 = 0,25$;

г) $x^2 = -81$;

д) $x^2 = \frac{9}{49}$;

е) $x^2 = 2\frac{1}{4}$.

Найдите корни этих уравнений.

Для того чтобы определить количество корней в уравнении вида $x^2 = a$, необходимо проанализировать знак числа $a$.

• Если $a > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $x = \pm\sqrt{a}$.
• Если $a = 0$, уравнение имеет один корень: $x = 0$.
• Если $a < 0$, уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Исходя из этого правила, два корня имеют уравнения, у которых правая часть больше нуля. Это уравнения: а), в), д), е).

Ниже представлено решение для каждого уравнения.

а) $x^2 = 49$
Уравнение имеет два корня, так как $49 > 0$.
$x_{1,2} = \pm\sqrt{49}$
Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -7$.

б) $x^2 = 0$
Уравнение имеет один корень, так как правая часть равна нулю.
Ответ: $x = 0$.

в) $x^2 = 0,25$
Уравнение имеет два корня, так как $0,25 > 0$.
$x_{1,2} = \pm\sqrt{0,25}$
Ответ: $x_1 = 0,5, x_2 = -0,5$.

г) $x^2 = -81$
Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным ($-81 < 0$).
Ответ: корней нет.

д) $x^2 = \frac{9}{49}$
Уравнение имеет два корня, так как $\frac{9}{49} > 0$.
$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{9}{49}} = \pm\frac{3}{7}$.
Ответ: $x_1 = \frac{3}{7}, x_2 = -\frac{3}{7}$.

е) $x^2 = 2\frac{1}{4}$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
Уравнение $x^2 = \frac{9}{4}$ имеет два корня, так как $\frac{9}{4} > 0$.
$x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{9}{4}} = \pm\frac{3}{2}$.
Представим ответ в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_1 = \mathbf{1}\frac{1}{2}, x_2 = -\mathbf{1}\frac{1}{2}$.