Номер 1.8, страница 19 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.8. С помощью определения арифметического квадратного корня докажите, что:

а) $ \sqrt{121} = 11; $

б) $ \sqrt{1} = 1; $

в) $ \sqrt{1,96} = 1,4; $

г) $ \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}; $

д) $ \sqrt{3\frac{1}{16}} = 1\frac{3}{4}. $

Согласно определению, арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$. То есть, чтобы доказать, что $\sqrt{a} = b$, необходимо проверить выполнение двух условий:

1. $b \geq 0$ (число $b$ является неотрицательным).
2. $b^2 = a$ (квадрат числа $b$ равен подкоренному выражению $a$).

а) Чтобы доказать, что $\sqrt{121} = 11$, проверим два условия:

1. Число $11$ является неотрицательным, так как $11 > 0$.
2. Квадрат числа $11$ равен $121$, так как $11^2 = 121$.

Оба условия выполняются, следовательно, равенство верно. Ответ: 11.

б) Чтобы доказать, что $\sqrt{1} = 1$, проверим два условия:

1. Число $1$ является неотрицательным, так как $1 > 0$.
2. Квадрат числа $1$ равен $1$, так как $1^2 = 1$.

Оба условия выполняются, следовательно, равенство верно. Ответ: 1.

в) Чтобы доказать, что $\sqrt{1,96} = 1,4$, проверим два условия:

1. Число $1,4$ является неотрицательным, так как $1,4 > 0$.
2. Квадрат числа $1,4$ равен $1,96$, так как $1,4^2 = 1,4 \times 1,4 = 1,96$.

Оба условия выполняются, следовательно, равенство верно. Ответ: 1,4.

г) Чтобы доказать, что $\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$, проверим два условия:

1. Число $\frac{5}{6}$ является неотрицательным, так как $\frac{5}{6} > 0$.
2. Квадрат числа $\frac{5}{6}$ равен $\frac{25}{36}$, так как $(\frac{5}{6})^2 = \frac{5^2}{6^2} = \frac{25}{36}$.

Оба условия выполняются, следовательно, равенство верно. Ответ: $\frac{5}{6}$.

д) Чтобы доказать, что $\sqrt{3\frac{1}{16}} = 1\frac{3}{4}$, сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби для удобства проверки.

Подкоренное выражение: $3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{49}{16}$
Значение корня: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Теперь докажем равенство $\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}$, проверив два условия:

1. Число $\frac{7}{4}$ является неотрицательным, так как $\frac{7}{4} > 0$.
2. Квадрат числа $\frac{7}{4}$ равен $\frac{49}{16}$, так как $(\frac{7}{4})^2 = \frac{7^2}{4^2} = \frac{49}{16}$.

Оба условия выполняются, следовательно, исходное равенство верно. Ответ: 1$\frac{3}{4}$.