Номер 1.137, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.137. Упростите выражение $\sqrt{\frac{1}{9} a^2 b^6}$, если a и b — числа:

а) одного знака;

б) разных знаков.

Для упрощения данного выражения необходимо извлечь квадратный корень. Воспользуемся свойством $\sqrt{x^2} = |x|$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата:

$\frac{1}{9}a^2b^6 = (\frac{1}{3})^2 \cdot a^2 \cdot (b^3)^2 = (\frac{1}{3}ab^3)^2$

Теперь извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{1}{9}a^2b^6} = \sqrt{(\frac{1}{3}ab^3)^2} = |\frac{1}{3}ab^3| = \frac{1}{3}|ab^3|$

Далее необходимо раскрыть модуль, учитывая условия, наложенные на переменные $a$ и $b$.

а) одного знака;

Если числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные), то их произведение $ab$ положительно ($ab > 0$).

Выражение $b^3$ всегда имеет тот же знак, что и $b$. Следовательно, произведение $ab^3$ будет иметь тот же знак, что и $ab$.

Поскольку $ab > 0$, то и $ab^3 > 0$. В этом случае модуль положительного числа равен самому числу:

$|ab^3| = ab^3$

Подставляя это в упрощенное выражение, получаем: $\frac{1}{3}ab^3$.

Ответ: $\frac{1}{3}ab^3$

б) разных знаков.

Если числа $a$ и $b$ имеют разные знаки (одно положительное, а другое отрицательное), то их произведение $ab$ отрицательно ($ab < 0$).

Как и в предыдущем случае, знак выражения $ab^3$ совпадает со знаком $ab$, поэтому $ab^3 < 0$.

Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу:

$|ab^3| = -ab^3$

Подставляя это в упрощенное выражение, получаем: $\frac{1}{3}(-ab^3) = -\frac{1}{3}ab^3$.

Ответ: $-\frac{1}{3}ab^3$