Номер 1.135, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.135. Вычислите:

а) $ \sqrt{(-3)^8} $;

б) $ \sqrt{(-7)^6} $;

в) $ \sqrt{2^6 \cdot (-10)^2} $;

г) $ \sqrt{\frac{16^4 \cdot (-3)^6}{(-12)^4}} $;

д) $ \sqrt{\frac{3^2 \cdot (-2)^8}{(-5)^4}} $;

е) $ \sqrt{\frac{7^4}{(-2)^6 \cdot 5^6}} $.

а) Для вычисления данного выражения воспользуемся тем, что отрицательное число в четной степени является положительным числом ($(-a)^{2n} = a^{2n}$), а также свойством корня $\sqrt{x^{2k}} = x^k$ для $x \ge 0$.
$ \sqrt{(-3)^8} = \sqrt{3^8} = \sqrt{(3^4)^2} = 3^4 = 81 $.
Ответ: 81

б) Аналогично предыдущему пункту, так как показатель степени 6 - четное число, то $(-7)^6 = 7^6$.
$ \sqrt{(-7)^6} = \sqrt{7^6} = \sqrt{(7^3)^2} = 7^3 = 343 $.
Ответ: 343

в) Используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a, b \ge 0$) и тот факт, что $(-10)^2 = 10^2$.
$ \sqrt{2^6 \cdot (-10)^2} = \sqrt{2^6 \cdot 10^2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{10^2} = 2^{6/2} \cdot 10^{2/2} = 2^3 \cdot 10 = 8 \cdot 10 = 80 $.
Ответ: 80

г) Сначала упростим подкоренное выражение. Так как степени четные, $(-3)^6 = 3^6$ и $(-12)^4 = 12^4$. Затем разложим основания на простые множители: $16 = 2^4$ и $12 = 3 \cdot 2^2$.
$ \sqrt{\frac{16^4 \cdot (-3)^6}{(-12)^4}} = \sqrt{\frac{16^4 \cdot 3^6}{12^4}} = \sqrt{\frac{(2^4)^4 \cdot 3^6}{(3 \cdot 2^2)^4}} = \sqrt{\frac{2^{16} \cdot 3^6}{3^4 \cdot 2^8}} $.
Сокращаем дробь, используя свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$ \sqrt{2^{16-8} \cdot 3^{6-4}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2} $.
Теперь извлекаем корень:
$ \sqrt{(2^4)^2 \cdot 3^2} = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 $.
Ответ: 48

д) Упрощаем выражение под корнем, заменяя отрицательные числа в четных степенях на положительные: $(-2)^8 = 2^8$ и $(-5)^4 = 5^4$.
$ \sqrt{\frac{3^2 \cdot (-2)^8}{(-5)^4}} = \sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^8}{5^4}} $.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$ \frac{\sqrt{3^2 \cdot 2^8}}{\sqrt{5^4}} = \frac{\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^8}}{\sqrt{5^4}} = \frac{3 \cdot 2^4}{5^2} = \frac{3 \cdot 16}{25} = \frac{48}{25} $.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число и выделим целую часть:
$ \frac{48}{25} = 1\frac{23}{25} $.
Ответ: 1$ \frac{23}{25} $

е) Упростим знаменатель, используя свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $(-2)^6 \cdot 5^6 = 2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6$.
$ \sqrt{\frac{7^4}{(-2)^6 \cdot 5^6}} = \sqrt{\frac{7^4}{10^6}} $.
Извлекаем корень из числителя и знаменателя:
$ \frac{\sqrt{7^4}}{\sqrt{10^6}} = \frac{7^2}{10^3} = \frac{49}{1000} $.
Ответ: $ \frac{49}{1000} $