Номер 1.140, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.140. Представьте в виде многочлена выражение:

а) $ \sqrt{(2m - 5,4)^2} + 5,4 $ при $ -1 \leq m \leq 1; $

б) $ \sqrt{(3n - 12,1)^2} - 12,1 $ при $ -5 < n < 4; $

в) $ \sqrt{(2a - 1,8)^2} - \sqrt{(3,2a + 1,6)^2} - 2a - 1,6 $ при $ -0,4 \leq a \leq 0,5; $

г) $ \sqrt{(9b - 1)^2} + \sqrt{(2b + 3,4)^2} - b + 3,4 $ при $ -2,8 \leq b \leq -1,8. $

а) Представим выражение $\sqrt{(2m - 5.4)^2} + 5.4$ в виде многочлена при условии $-1 \le m \le 1$.
Основное свойство, которое мы будем использовать: $\sqrt{x^2} = |x|$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt{(2m - 5.4)^2} + 5.4 = |2m - 5.4| + 5.4$.
Теперь нам нужно определить знак выражения под модулем $2m - 5.4$ на заданном интервале $-1 \le m \le 1$.
Проверим значения на концах интервала:
При $m = -1$: $2(-1) - 5.4 = -2 - 5.4 = -7.4$.
При $m = 1$: $2(1) - 5.4 = 2 - 5.4 = -3.4$.
Так как выражение $2m - 5.4$ является линейной функцией и на обоих концах интервала принимает отрицательные значения, оно отрицательно на всем интервале $-1 \le m \le 1$.
Следовательно, $2m - 5.4 < 0$, и мы можем раскрыть модуль по правилу $|x| = -x$, если $x < 0$:
$|2m - 5.4| = -(2m - 5.4) = -2m + 5.4$.
Подставим это в наше выражение:
$(-2m + 5.4) + 5.4 = -2m + 10.8$.
Ответ: $-2m + 10.8$.

б) Представим выражение $\sqrt{(3n - 12.1)^2} - 12.1$ в виде многочлена при условии $-5 < n < 4$.
Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем:
$\sqrt{(3n - 12.1)^2} - 12.1 = |3n - 12.1| - 12.1$.
Определим знак выражения $3n - 12.1$ на интервале $-5 < n < 4$.
Найдем, при каком значении $n$ выражение равно нулю: $3n - 12.1 = 0 \implies n = 12.1 / 3 \approx 4.03$.
Поскольку верхняя граница интервала $n=4$ меньше, чем $4.03$, выражение $3n - 12.1$ будет отрицательным на всем интервале $-5 < n < 4$.
Проверим на границе: при $n \to 4$, $3(4) - 12.1 = 12 - 12.1 = -0.1 < 0$.
Таким образом, $3n - 12.1 < 0$, и модуль раскрывается со знаком минус:
$|3n - 12.1| = -(3n - 12.1) = -3n + 12.1$.
Подставим в исходное выражение:
$(-3n + 12.1) - 12.1 = -3n$.
Ответ: $-3n$.

в) Представим выражение $\sqrt{(2a - 1.8)^2} - \sqrt{(3.2a + 1.6)^2} - 2a - 1.6$ в виде многочлена при условии $-0.4 \le a \le 0.5$.
Упростим выражение с помощью $\sqrt{x^2} = |x|$:
$|2a - 1.8| - |3.2a + 1.6| - 2a - 1.6$.
Определим знаки выражений под модулями на интервале $-0.4 \le a \le 0.5$.
1. Для $2a - 1.8$:
Проверим значение на правом конце интервала: при $a = 0.5$, $2(0.5) - 1.8 = 1 - 1.8 = -0.8 < 0$. Так как функция линейная, она отрицательна на всем интервале.
Следовательно, $|2a - 1.8| = -(2a - 1.8) = -2a + 1.8$.
2. Для $3.2a + 1.6$:
Проверим значение на левом конце интервала: при $a = -0.4$, $3.2(-0.4) + 1.6 = -1.28 + 1.6 = 0.32 > 0$. Так как функция линейная, она положительна на всем интервале.
Следовательно, $|3.2a + 1.6| = 3.2a + 1.6$.
Теперь подставим раскрытые модули в выражение:
$(-2a + 1.8) - (3.2a + 1.6) - 2a - 1.6$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-2a + 1.8 - 3.2a - 1.6 - 2a - 1.6 = (-2 - 3.2 - 2)a + (1.8 - 1.6 - 1.6) = -7.2a - 1.4$.
Ответ: $-7.2a - 1.4$.

г) Представим выражение $\sqrt{(9b - 1)^2} + \sqrt{(2b + 3.4)^2} - b + 3.4$ в виде многочлена при условии $-2.8 \le b \le -1.8$.
Упрощаем, используя $\sqrt{x^2} = |x|$:
$|9b - 1| + |2b + 3.4| - b + 3.4$.
Определим знаки выражений под модулями на интервале $-2.8 \le b \le -1.8$.
1. Для $9b - 1$:
Поскольку $b$ принимает только отрицательные значения в данном интервале, $9b$ также будет отрицательным. Значит, $9b - 1$ всегда будет отрицательным.
Например, при $b=-1.8$, $9(-1.8) - 1 = -16.2 - 1 = -17.2 < 0$.
Следовательно, $|9b - 1| = -(9b - 1) = -9b + 1$.
2. Для $2b + 3.4$:
Найдем корень: $2b + 3.4 = 0 \implies b = -1.7$.
Весь интервал $-2.8 \le b \le -1.8$ находится левее корня $b = -1.7$, поэтому выражение $2b + 3.4$ на этом интервале отрицательно.
Проверим на границе: при $b=-1.8$, $2(-1.8)+3.4 = -3.6+3.4 = -0.2 < 0$.
Следовательно, $|2b + 3.4| = -(2b + 3.4) = -2b - 3.4$.
Подставим раскрытые модули в выражение:
$(-9b + 1) + (-2b - 3.4) - b + 3.4$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-9b + 1 - 2b - 3.4 - b + 3.4 = (-9 - 2 - 1)b + (1 - 3.4 + 3.4) = -12b + 1$.
Ответ: $-12b + 1$.