Номер 1.133, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.133. Найдите значения переменной, при которых верно равенство:

а) $\sqrt{a^6} = a^3$;

В) $\sqrt{c^{10}} = -c^5$;

б) $\sqrt{b^{16}} = b^8$;

Г) $\sqrt{x^{12}} = -x^6$.

Для решения данных уравнений воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^{2n}} = |x^n|$ для любого действительного числа $x$ и натурального числа $n$. Это свойство следует из определения арифметического квадратного корня, который всегда является неотрицательным числом, и того факта, что $\sqrt{a^2} = |a|$.

а) $\sqrt{a^6} = a^3$

Преобразуем левую часть равенства, используя указанное выше свойство:

$\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$

Тогда исходное равенство принимает вид:

$|a^3| = a^3$

Равенство $|y| = y$ верно тогда и только тогда, когда $y \geq 0$. В нашем случае $y = a^3$.

Следовательно, нам нужно найти значения $a$, при которых выполняется неравенство:

$a^3 \geq 0$

Так как степень нечетная, знак $a^3$ совпадает со знаком $a$. Поэтому неравенство верно при $a \geq 0$.

Ответ: Равенство верно при $a \geq 0$.

б) $\sqrt{b^{16}} = b^8$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt{b^{16}} = \sqrt{(b^8)^2} = |b^8|$

Исходное равенство принимает вид:

$|b^8| = b^8$

Равенство $|y| = y$ верно при $y \geq 0$. В данном случае $y = b^8$.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$b^8 \geq 0$

Так как показатель степени 8 — четное число, выражение $b^8$ всегда неотрицательно (то есть больше или равно нулю) для любого действительного значения $b$.

Ответ: Равенство верно при любом действительном значении $b$.

в) $\sqrt{c^{10}} = -c^5$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt{c^{10}} = \sqrt{(c^5)^2} = |c^5|$

Исходное равенство принимает вид:

$|c^5| = -c^5$

Равенство $|y| = -y$ верно тогда и только тогда, когда $y \leq 0$. В нашем случае $y = c^5$.

Следовательно, нам нужно найти значения $c$, при которых выполняется неравенство:

$c^5 \leq 0$

Так как степень 5 — нечетное число, знак $c^5$ совпадает со знаком $c$. Поэтому неравенство верно при $c \leq 0$.

Ответ: Равенство верно при $c \leq 0$.

г) $\sqrt{x^{12}} = -x^6$

Преобразуем левую часть равенства:

$\sqrt{x^{12}} = \sqrt{(x^6)^2} = |x^6|$

Исходное равенство принимает вид:

$|x^6| = -x^6$

Равенство $|y| = -y$ верно при $y \leq 0$. В данном случае $y = x^6$.

Следовательно, должно выполняться неравенство:

$x^6 \leq 0$

Так как показатель степени 6 — четное число, выражение $x^6$ всегда неотрицательно ($x^6 \geq 0$) для любого действительного значения $x$. Единственный случай, когда это выражение может быть меньше или равно нулю, — это когда оно равно нулю.

$x^6 = 0$

Это уравнение имеет единственный корень: $x = 0$.

Ответ: Равенство верно при $x = 0$.