Номер 1.128, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.128. Проверьте, верны ли равенства:

a) $\sqrt{0,3^2} = 0,3$;

б) $\sqrt{b^2} = b$;

в) $\sqrt{(-7)^2} = -7$;

г) $\sqrt{(-11)^2} = 11$;

д) $\sqrt{m^4} = m^2$;

е) $\sqrt{16x^2} = -8x$.

Для проверки равенств воспользуемся определением арифметического квадратного корня и свойством $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — модуль числа $a$.

а) Проверим равенство $\sqrt{0,3^2} = 0,3$.

Левая часть: $\sqrt{0,3^2} = \sqrt{0,09} = 0,3$.
Правая часть: $0,3$.
Поскольку $0,3 = 0,3$, равенство верно. Также по свойству $\sqrt{a^2}=|a|$, имеем $\sqrt{0,3^2} = |0,3| = 0,3$.
Ответ: верно.

б) Проверим равенство $\sqrt{b^2} = b$.

Согласно свойству $\sqrt{a^2} = |a|$, левая часть равна $\sqrt{b^2} = |b|$.
Равенство $|b| = b$ истинно только при условии, что $b \ge 0$. Если $b$ — отрицательное число (например, $b = -5$), то $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, а $b = -5$. В этом случае $5 \ne -5$.
Следовательно, равенство не является тождеством (неверно для всех $b$).
Ответ: неверно.

в) Проверим равенство $\sqrt{(-7)^2} = -7$.

Вычислим левую часть: $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$.
Правая часть равна $-7$.
Поскольку $7 \ne -7$, равенство неверно. Результат извлечения арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.
Ответ: неверно.

г) Проверим равенство $\sqrt{(-11)^2} = 11$.

Вычислим левую часть: $\sqrt{(-11)^2} = \sqrt{121} = 11$.
Правая часть равна $11$.
Поскольку $11 = 11$, равенство верно.
Ответ: верно.

д) Проверим равенство $\sqrt{m^4} = m^2$.

Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $m^4 = (m^2)^2$.
Тогда левая часть равна $\sqrt{(m^2)^2}$. По свойству $\sqrt{a^2}=|a|$, имеем $|m^2|$.
Так как любое число в квадрате неотрицательно ($m^2 \ge 0$), то $|m^2| = m^2$.
Следовательно, равенство верно для любого действительного числа $m$.
Ответ: верно.

е) Проверим равенство $\sqrt{16x^2} = -8x$.

Упростим левую часть: $\sqrt{16x^2} = \sqrt{16 \cdot x^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2} = 4|x|$.
Равенство принимает вид $4|x| = -8x$.
Данное равенство справедливо только в одном случае: при $x = 0$, так как $4|0| = 0$ и $-8 \cdot 0 = 0$.
Если $x > 0$ (например, $x=1$), получим $4 = -8$, что неверно.
Если $x < 0$ (например, $x=-1$), получим $4 = 8$, что также неверно.
Так как равенство не выполняется для всех $x$, оно считается неверным.
Ответ: неверно.