Номер 1.124, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.124. Вычислите:

а) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{14}}{21}$;

б) $\frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}{10}$;

в) $\frac{5\sqrt{51} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{17}}$;

г) $\frac{15\sqrt{19}}{2\sqrt{95} \cdot \sqrt{5}}$;

д) $(\sqrt{2})^3 \cdot \sqrt{32}$;

е) $(5\sqrt{3})^3 \cdot \sqrt{3}.

а) $ \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{14}}{21} $
Используем свойство произведения корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} $ для числителя:
$ \frac{\sqrt{2 \cdot 7} \cdot \sqrt{14}}{21} = \frac{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}}{21} $
Так как $ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x $, то $ \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} = 14 $. Получаем:
$ \frac{14}{21} $
Сократим дробь на 7:
$ \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3} $
Результат является правильной дробью, ее целая часть равна 0.
Ответ: 0

б) $ \frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10}}{10} $
Объединим корни в числителе:
$ \frac{\sqrt{8 \cdot 5 \cdot 10}}{10} = \frac{\sqrt{400}}{10} $
Вычисляем корень и делим:
$ \frac{20}{10} = 2 $
Результат — целое число.
Ответ: 2

в) $ \frac{5\sqrt{51} \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{17}} $
Сгруппируем коэффициенты и корни:
$ \frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{51} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{17}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{51 \cdot 3}}{\sqrt{17}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{153}}{\sqrt{17}} $
Используем свойство частного корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $:
$ \frac{5}{2} \cdot \sqrt{\frac{153}{17}} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{9} = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2} $
Получили неправильную дробь. Преобразуем ее в смешанное число: $ \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} $. Целая часть равна 7.
Ответ: 7

г) $ \frac{15\sqrt{19}}{2\sqrt{95} \cdot \sqrt{5}} $
Объединим корни в знаменателе:
$ \frac{15\sqrt{19}}{2\sqrt{95 \cdot 5}} = \frac{15\sqrt{19}}{2\sqrt{475}} $
Разложим подкоренное выражение в знаменателе на множители: $ 475 = 25 \cdot 19 $.
$ \frac{15\sqrt{19}}{2\sqrt{25 \cdot 19}} = \frac{15\sqrt{19}}{2 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{19}} = \frac{15\sqrt{19}}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{19}} = \frac{15\sqrt{19}}{10\sqrt{19}} $
Сокращаем $ \sqrt{19} $:
$ \frac{15}{10} = \frac{3}{2} $
Получили неправильную дробь. Преобразуем ее в смешанное число: $ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} $. Целая часть равна 1.
Ответ: 1

д) $ (\sqrt{2})^3 \cdot \sqrt{32} $
Представим степень как корень: $ (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} $.
$ \sqrt{8} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{8 \cdot 32} = \sqrt{256} $
Вычисляем корень:
$ \sqrt{256} = 16 $
Ответ: 16

е) $ (5\sqrt{3})^3 \cdot \sqrt{3} $
Раскроем скобки, возведя в степень каждый множитель:
$ (5\sqrt{3})^3 = 5^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 125 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 125 \cdot 3\sqrt{3} = 375\sqrt{3} $
Теперь умножим результат на $ \sqrt{3} $:
$ 375\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 375 \cdot 3 = 1125 $
Ответ: 1125