Номер 1.118, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.118. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{-242 \cdot (-32)};$

б) $\sqrt{2 \cdot (-10) \cdot (-405)};$

в) $\sqrt{\frac{-27}{-147}};$

г) $\sqrt{\frac{4 \cdot (-8)}{-50}}.$

а) Найдем значение выражения $\sqrt{-242 \cdot (-32)}$.

Поскольку произведение двух отрицательных чисел является положительным числом, мы можем убрать знаки минуса под корнем:

$\sqrt{-242 \cdot (-32)} = \sqrt{242 \cdot 32}$

Чтобы упростить извлечение корня, разложим числа под корнем на удобные множители:

$242 = 2 \cdot 121 = 2 \cdot 11^2$

$32 = 2 \cdot 16$

Подставим эти множители в выражение:

$\sqrt{(2 \cdot 11^2) \cdot (2 \cdot 16)} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 11^2 \cdot 16} = \sqrt{4 \cdot 121 \cdot 16}$

Используя свойство "корень из произведения равен произведению корней" ($\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$), получаем:

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{121} \cdot \sqrt{16} = 2 \cdot 11 \cdot 4 = 88$

Ответ: 88

б) Найдем значение выражения $\sqrt{2 \cdot (-10) \cdot (-405)}$.

Произведение двух отрицательных чисел $(-10) \cdot (-405)$ дает положительный результат. Таким образом, все подкоренное выражение становится положительным:

$\sqrt{2 \cdot (-10) \cdot (-405)} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 405}$

Разложим числа на множители для упрощения извлечения корня:

$10 = 2 \cdot 5$

$405 = 5 \cdot 81 = 5 \cdot 9^2$

Подставим разложенные множители в выражение:

$\sqrt{2 \cdot (2 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 9^2)} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 81} = \sqrt{4 \cdot 25 \cdot 81}$

Теперь извлечем корень из каждого множителя по отдельности:

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{81} = 2 \cdot 5 \cdot 9 = 90$

Ответ: 90

в) Найдем значение выражения $\sqrt{\frac{-27}{-147}}$.

Частное двух отрицательных чисел является положительным числом:

$\sqrt{\frac{-27}{-147}} = \sqrt{\frac{27}{147}}$

Сократим дробь под корнем. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. Оба числа делятся на 3:

$27 = 3 \cdot 9$

$147 = 3 \cdot 49$

Подставим множители в дробь и сократим общий множитель 3:

$\sqrt{\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 49}} = \sqrt{\frac{9}{49}}$

Используя свойство "корень из дроби равен дроби из корней" ($\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$), получаем:

$\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{49}} = \frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{3}{7}$

г) Найдем значение выражения $\sqrt{\frac{4 \cdot (-8)}{-50}}$.

Сначала выполним умножение в числителе: $4 \cdot (-8) = -32$.

Теперь выражение имеет вид: $\sqrt{\frac{-32}{-50}}$.

Частное двух отрицательных чисел положительно:

$\sqrt{\frac{32}{50}}$

Сократим дробь $\frac{32}{50}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{32 \div 2}{50 \div 2} = \frac{16}{25}$

Теперь извлечем корень из полученной дроби:

$\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{4}{5}$