Номер 1.122, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.122. Вычислите:

а) $\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}};$

б) $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}};$

в) $\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{24}};$

г) $\frac{25\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{5}};$

д) $\frac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{128}};$

е) $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{24}} \cdot \sqrt{\frac{3}{26}}.$

а) Используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$, объединим корни в числителе. Затем выполним деление.
$\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 1$.
Ответ: 1.

б) Сначала объединим корни в знаменателе, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Затем воспользуемся свойством частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ и упростим выражение.
$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3 \cdot 21}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{63}} = \sqrt{\frac{7}{63}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Применим свойство частного корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$, упростим подкоренное выражение, а затем выделим целую часть из полученной неправильной дроби.
$\frac{5\sqrt{6}}{\sqrt{24}} = 5\sqrt{\frac{6}{24}} = 5\sqrt{\frac{1}{4}} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.
Ответ: 2$\frac{1}{2}$.

г) Объединим все корни в одно выражение под корнем, используя свойства $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Затем упростим и вычислим результат.
$\frac{25\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{5}} = 25\sqrt{\frac{3 \cdot 15}{5}} = 25\sqrt{3 \cdot 3} = 25\sqrt{9} = 25 \cdot 3 = 75$.
Ответ: 75.

д) Объединим все корни в одно выражение, сократим дробь под корнем и извлечем корень. В конце преобразуем неправильную дробь в смешанное число.
$\frac{\sqrt{18} \cdot \sqrt{27}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{128}} = \sqrt{\frac{18 \cdot 27}{3 \cdot 128}} = \sqrt{\frac{6 \cdot 27}{128}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 27}{64}} = \sqrt{\frac{81}{64}} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Ответ: 1$\frac{1}{8}$.

е) Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для объединения дробей под один корень, затем перемножим дроби и сократим их.
$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{24}} \cdot \sqrt{\frac{3}{26}} = \sqrt{\frac{13}{24} \cdot \frac{3}{26}} = \sqrt{\frac{13 \cdot 3}{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 13)}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.