Номер 1.126, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.126. Упростите выражение:

a) $\sqrt{x^2}$;

б) $\sqrt{(3a)^2}$;

в) $\sqrt{16m^2}$;

г) $\sqrt{\frac{4c^2}{9}}$.

Основное свойство, которое используется для решения этих задач, — это определение арифметического квадратного корня из квадрата числа: для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. Модуль числа $a$ ($|a|$) равен $a$, если $a \ge 0$, и равен $-a$, если $a < 0$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{x^2}$ воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. В данном случае $a=x$.

$\sqrt{x^2} = |x|$

Ответ: $|x|$.

б) Аналогично пункту а), применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$ к выражению $\sqrt{(3a)^2}$.

$\sqrt{(3a)^2} = |3a|$

Используя свойство модуля $|xy| = |x| \cdot |y|$, получаем:

$|3a| = |3| \cdot |a| = 3|a|$

Ответ: $3|a|$.

в) Сначала представим подкоренное выражение $16m^2$ в виде квадрата.

$16m^2 = 4^2 \cdot m^2 = (4m)^2$

Теперь извлечем корень, используя то же свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{16m^2} = \sqrt{(4m)^2} = |4m|$

Упростим полученное выражение:

$|4m| = |4| \cdot |m| = 4|m|$

Ответ: $4|m|$.

г) Представим подкоренное выражение $\frac{4c^2}{9}$ в виде квадрата дроби.

$\frac{4c^2}{9} = \frac{2^2 \cdot c^2}{3^2} = \left(\frac{2c}{3}\right)^2$

Теперь извлечем корень:

$\sqrt{\frac{4c^2}{9}} = \sqrt{\left(\frac{2c}{3}\right)^2} = \left|\frac{2c}{3}\right|$

Используя свойство модуля $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$, упростим выражение:

$\left|\frac{2c}{3}\right| = \frac{|2c|}{|3|} = \frac{2|c|}{3}$

Ответ: $\frac{2|c|}{3}$.