Номер 1.120, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.120. Определите, рациональными или иррациональными числами являются значения выражений $a^2$, $a^3$ и $2a\sqrt{3}$ при $a = -\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Для того чтобы определить, являются ли значения выражений рациональными или иррациональными, необходимо подставить заданное значение $a = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ в каждое выражение и вычислить его.

$a^2$:
Подставим значение $a$ в выражение и возведем в квадрат:
$a^2 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{(-\sqrt{3})^2}{4^2} = \frac{3}{16}$.
Полученное число $\frac{3}{16}$ является отношением двух целых чисел, следовательно, оно рациональное.
Ответ: рациональное число.

$a^3$:
Подставим значение $a$ в выражение и возведем в куб:
$a^3 = \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^3 = \frac{(-\sqrt{3})^3}{4^3} = \frac{-(\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{64} = -\frac{3\sqrt{3}}{64}$.
Результат содержит множитель $\sqrt{3}$, который является иррациональным числом. Произведение рационального числа $(-\frac{3}{64})$ и иррационального $(\sqrt{3})$ является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

$2a\sqrt{3}$:
Подставим значение $a$ в выражение и выполним умножение:
$2a\sqrt{3} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) \cdot \sqrt{3} = -\frac{2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{4} = -\frac{2 \cdot 3}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Полученное число $-\frac{3}{2}$ является отношением двух целых чисел, следовательно, оно рациональное. Так как это неправильная дробь, представим ее в виде смешанного числа: $-\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2}$.
Ответ: рациональное число, -1$\frac{1}{2}$.