Номер 1.121, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.121. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{27};$

б) $\sqrt{24} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{5};$

в) $\sqrt{20 \cdot 45} - \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{50}};$

г) $\sqrt{54} : \sqrt{24} + \sqrt{(-48) \cdot (-75)}.$

а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$
Для решения воспользуемся свойством произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
1. Упростим первое произведение:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$
2. Упростим второе произведение:
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$
3. Выполним вычитание:
$8 - 9 = -1$
Ответ: -1

б) $\sqrt{24} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{5}$
Используем свойства корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
1. Упростим первое слагаемое:
$\sqrt{24} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{24 \cdot 6} = \sqrt{144} = 12$
2. Упростим второе слагаемое:
$\sqrt{\frac{5}{9}} \cdot \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}} \cdot \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{3} = \frac{5}{3}$
3. Выполним сложение:
$12 + \frac{5}{3} = \frac{12 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3} = \frac{36 + 5}{3} = \frac{41}{3}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{41}{3} = 13\frac{2}{3}$
Ответ: 13$ \frac{2}{3}$

в) $\sqrt{20 \cdot 45} - \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{50}}$
Используем свойства корней: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.
1. Упростим первый член выражения:
$\sqrt{20 \cdot 45} = \sqrt{900} = 30$
2. Упростим второй член выражения:
$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{32}{50}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 2}{25 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$
3. Выполним вычитание:
$30 - \frac{4}{5} = \frac{150}{5} - \frac{4}{5} = \frac{146}{5}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{146}{5} = 29\frac{1}{5}$
Ответ: 29$ \frac{1}{5}$

г) $\sqrt{54} : \sqrt{24} + \sqrt{(-48) \cdot (-75)}$
Используем свойства корней: $\sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b}$ и $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
1. Упростим частное:
$\sqrt{54} : \sqrt{24} = \sqrt{\frac{54}{24}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 6}{4 \cdot 6}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
2. Упростим корень из произведения:
$\sqrt{(-48) \cdot (-75)} = \sqrt{48 \cdot 75} = \sqrt{(16 \cdot 3) \cdot (25 \cdot 3)} = \sqrt{16 \cdot 25 \cdot 9} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{9} = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60$
3. Выполним сложение:
$\frac{3}{2} + 60 = \frac{3}{2} + \frac{120}{2} = \frac{123}{2}$
4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{123}{2} = 61\frac{1}{2}$
Ответ: 61$ \frac{1}{2}$