Номер 1.117, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.117. Вычислите:

а) $5\sqrt{2} \cdot \sqrt{32};$

б) $3\sqrt{8} : \left(\frac{1}{6}\sqrt{2}\right);$

в) $5\sqrt{3} \cdot 0,1\sqrt{12};$

г) $2\sqrt{7} : \left(\frac{3}{14}\sqrt{63}\right).$

а) Для вычисления произведения $5\sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$ воспользуемся свойством умножения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Это позволяет объединить подкоренные выражения.

$5\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = 5\sqrt{2 \cdot 32} = 5\sqrt{64}$

Так как квадратный корень из 64 равен 8, получаем:

$5 \cdot 8 = 40$

Ответ: 40.

б) Для вычисления частного $3\sqrt{8} : (\frac{1}{6}\sqrt{2})$ запишем операцию деления в виде дроби. Затем разделим коэффициенты и подкоренные выражения по отдельности, используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$3\sqrt{8} : \left(\frac{1}{6}\sqrt{2}\right) = \frac{3\sqrt{8}}{\frac{1}{6}\sqrt{2}} = \left(\frac{3}{\frac{1}{6}}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\right)$

Вычислим частное коэффициентов:

$\frac{3}{\frac{1}{6}} = 3 \cdot 6 = 18$

Вычислим частное корней:

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Теперь перемножим полученные значения:

$18 \cdot 2 = 36$

Ответ: 36.

в) Для вычисления выражения $5\sqrt{3} \cdot 0,1\sqrt{12}$ перемножим отдельно коэффициенты и подкоренные выражения.

$5\sqrt{3} \cdot 0,1\sqrt{12} = (5 \cdot 0,1) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{12})$

Произведение коэффициентов:

$5 \cdot 0,1 = 0,5$

Произведение корней, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$

Перемножим результаты:

$0,5 \cdot 6 = 3$

Ответ: 3.

г) Для вычисления выражения $2\sqrt{7} : (\frac{3}{14}\sqrt{63})$ запишем его в виде дроби. Упростим корень в знаменателе, чтобы облегчить вычисления.

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$

Теперь подставим упрощенное выражение обратно в частное:

$2\sqrt{7} : \left(\frac{3}{14} \cdot 3\sqrt{7}\right) = 2\sqrt{7} : \left(\frac{9}{14}\sqrt{7}\right) = \frac{2\sqrt{7}}{\frac{9}{14}\sqrt{7}}$

Сократим одинаковые множители $\sqrt{7}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{\frac{9}{14}} = 2 \cdot \frac{14}{9} = \frac{28}{9}$

Чтобы выделить целую часть, представим неправильную дробь в виде смешанного числа. Разделим 28 на 9:

$28 \div 9 = 3$ (остаток $1$)

Следовательно, $\frac{28}{9} = 3\frac{1}{9}$. Целая часть равна 3.

Ответ: 3$\frac{1}{9}$.