Номер 1.110, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.110. Вычислите:

а) $\sqrt{\frac{2}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}};$

б) $\sqrt{2.4} \cdot \sqrt{3\frac{3}{4}};$

в) $\sqrt{\frac{1}{17}} \cdot \sqrt{2\frac{3}{7}} \cdot \sqrt{7};$

г) $\sqrt{0.375} \cdot \sqrt{10\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{4}{9}}.$

Приведите свой пример, аналогичный выполненным.

а) Чтобы вычислить произведение корней, воспользуемся свойством $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$. Объединим подкоренные выражения под одним знаком корня, затем сократим получившуюся дробь и извлечем корень.

$\sqrt{\frac{2}{7}} \cdot \sqrt{\frac{7}{8}} = \sqrt{\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{8}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 7}{7 \cdot 8}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) Сначала преобразуем десятичную дробь $2,4$ и смешанное число $3\frac{3}{4}$ в неправильные дроби. Затем, как и в предыдущем примере, перемножим их под одним знаком корня, сократим и вычислим значение.

$2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$

$\sqrt{2,4} \cdot \sqrt{3\frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{5}} \cdot \sqrt{\frac{15}{4}} = \sqrt{\frac{12 \cdot 15}{5 \cdot 4}} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: $3$.

в) Преобразуем смешанное число $2\frac{3}{7}$ в неправильную дробь и внесем все три множителя под один корень. Затем выполним сокращение.

$2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{17}{7}$

$\sqrt{\frac{1}{17}} \cdot \sqrt{2\frac{3}{7}} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{\frac{1}{17}} \cdot \sqrt{\frac{17}{7}} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{\frac{1}{17} \cdot \frac{17}{7} \cdot 7} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: $1$.

г) Преобразуем десятичную дробь $0,375$ и смешанное число $10\frac{2}{3}$ в обыкновенные дроби. После этого перемножим все три подкоренных выражения, сократим и извлечем корень.

$0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$

$10\frac{2}{3} = \frac{10 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{32}{3}$

$\sqrt{0,375} \cdot \sqrt{10\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{3}{8} \cdot \frac{32}{3} \cdot \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 32 \cdot 4}{8 \cdot 3 \cdot 9}} = \sqrt{\frac{32 \cdot 4}{8 \cdot 9}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 4}{9}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$

Полученная неправильная дробь $\frac{4}{3}$ преобразуется в смешанное число $1\frac{1}{3}$.

Ответ: 1$\frac{1}{3}$.

Пример, аналогичный выполненным

Задание: Вычислите $\sqrt{0,5} \cdot \sqrt{4\frac{1}{2}}$.

Решение:

1. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в неправильные дроби:

$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

2. Перемножим корни, объединив подкоренные выражения:

$\sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{9}{4}}$

3. Извлечем корень и, так как получилась неправильная дробь, преобразуем ее в смешанное число:

$\sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: 1$\frac{1}{2}$.