Номер 1.109, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.109. Найдите значение выражения:

a) $\sqrt{\frac{8}{27} \cdot \frac{50}{81} \cdot 16\frac{1}{3}}$;

б) $\sqrt{\frac{75}{7} \cdot \frac{8}{11} \cdot 1\frac{1}{21}}$.

a) Чтобы найти значение выражения, выполним следующие шаги:
1. Преобразуем смешанное число $16\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$16\frac{1}{3} = \frac{16 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{48 + 1}{3} = \frac{49}{3}$.
2. Подставим полученную дробь в исходное выражение:
$\sqrt{\frac{8}{27} \cdot \frac{50}{81} \cdot 16\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{8}{27} \cdot \frac{50}{81} \cdot \frac{49}{3}}$.
3. Перемножим дроби под знаком корня:
$\sqrt{\frac{8 \cdot 50 \cdot 49}{27 \cdot 81 \cdot 3}}$.
4. Для удобства извлечения корня разложим числа в числителе и знаменателе на множители, являющиеся полными квадратами:
$8 = 4 \cdot 2$
$50 = 25 \cdot 2$
$49 = 7^2$
$27 \cdot 3 = 81 = 9^2$
Получаем:
$\sqrt{\frac{(4 \cdot 2) \cdot (25 \cdot 2) \cdot 49}{81 \cdot 81}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 25 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 49}{81^2}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 25 \cdot 4 \cdot 49}{81^2}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 25 \cdot 49}{81^2}}$.
5. Используя свойство корня $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ и $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, извлечем корень:
$\frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{49}}{\sqrt{81^2}} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 7}{81} = \frac{140}{81}$.
6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, выделив целую часть:
$\frac{140}{81} = 1\frac{59}{81}$.
Ответ: 1$\frac{59}{81}$

б) Решим данное выражение по шагам:
1. Преобразуем смешанное число $1\frac{1}{21}$ в неправильную дробь:
$1\frac{1}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 1}{21} = \frac{22}{21}$.
2. Подставим полученное значение в выражение:
$\sqrt{\frac{75}{7} \cdot \frac{8}{11} \cdot 1\frac{1}{21}} = \sqrt{\frac{75}{7} \cdot \frac{8}{11} \cdot \frac{22}{21}}$.
3. Запишем все множители под одним корнем. Перед тем как перемножать, выполним сокращение дробей для упрощения вычислений:
$\sqrt{\frac{75 \cdot 8 \cdot 22}{7 \cdot 11 \cdot 21}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 25) \cdot 8 \cdot (2 \cdot 11)}{7 \cdot 11 \cdot (3 \cdot 7)}}$.
Сокращаем одинаковые множители (11 и 3) в числителе и знаменателе:
$\sqrt{\frac{25 \cdot 8 \cdot 2}{7 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 16}{49}}$.
4. Теперь извлечем квадратный корень из числителя и знаменателя:
$\frac{\sqrt{25 \cdot 16}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{25} \cdot \sqrt{16}}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7} = \frac{20}{7}$.
5. Выделим целую часть из полученной неправильной дроби:
$\frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}$.
Ответ: 2$\frac{6}{7}$