Номер 1.108, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.108. Выполните извлечение квадратного корня:

a) $\sqrt{10 \cdot 250};$

б) $\sqrt{11 \cdot 1100};$

в) $\sqrt{360 \cdot 90};$

г) $\sqrt{48 \cdot 75};$

д) $\sqrt{63 \cdot 28};$

е) $\sqrt{0,4 \cdot 4,9};$

ж) $\sqrt{0,8 \cdot 9,8};$

з) $\sqrt{32,4 \cdot 36,1};$

и) $\sqrt{28,8 \cdot 33,8}.$

а) Для извлечения квадратного корня из произведения $10 \cdot 250$ воспользуемся свойством корня $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и разложим множители на удобные сомножители, чтобы получить полные квадраты:
$\sqrt{10 \cdot 250} = \sqrt{10 \cdot (10 \cdot 25)} = \sqrt{10^2 \cdot 5^2} = \sqrt{(10 \cdot 5)^2} = 50$.
Альтернативный способ — сначала выполнить умножение:
$\sqrt{10 \cdot 250} = \sqrt{2500} = 50$.
Ответ: 50.

б) Разложим число $1100$ на множители $11$ и $100$:
$\sqrt{11 \cdot 1100} = \sqrt{11 \cdot 11 \cdot 100} = \sqrt{11^2 \cdot 10^2} = \sqrt{(11 \cdot 10)^2} = 110$.
Ответ: 110.

в) Разложим подкоренные множители на полные квадраты:
$\sqrt{360 \cdot 90} = \sqrt{(36 \cdot 10) \cdot (9 \cdot 10)} = \sqrt{36 \cdot 9 \cdot 10^2}$.
Теперь извлечем корень из каждого множителя:
$\sqrt{36} \cdot \sqrt{9} \cdot \sqrt{10^2} = 6 \cdot 3 \cdot 10 = 180$.
Ответ: 180.

г) Разложим числа $48$ и $75$ на простые множители, чтобы найти полные квадраты:
$48 = 16 \cdot 3 = 4^2 \cdot 3$
$75 = 25 \cdot 3 = 5^2 \cdot 3$
$\sqrt{48 \cdot 75} = \sqrt{(16 \cdot 3) \cdot (25 \cdot 3)} = \sqrt{16 \cdot 25 \cdot 3^2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{3^2} = 4 \cdot 5 \cdot 3 = 60$.
Ответ: 60.

д) Разложим числа $63$ и $28$ на множители:
$63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$\sqrt{63 \cdot 28} = \sqrt{(9 \cdot 7) \cdot (4 \cdot 7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 7^2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{7^2} = 3 \cdot 2 \cdot 7 = 42$.
Ответ: 42.

е) Для вычисления корня из произведения десятичных дробей $\sqrt{0,4 \cdot 4,9}$ представим их в виде обыкновенных дробей:
$0,4 = \frac{4}{10}$ и $4,9 = \frac{49}{10}$.
Тогда выражение под корнем примет вид:
$\sqrt{\frac{4}{10} \cdot \frac{49}{10}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 49}{100}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 49}}{\sqrt{100}} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{49}}{10} = \frac{2 \cdot 7}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Получили неправильную дробь $\frac{7}{5}$. Выделим из нее целую часть:
$\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
Ответ: 1$\frac{2}{5}$.

ж) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных:
$\sqrt{0,8 \cdot 9,8} = \sqrt{\frac{8}{10} \cdot \frac{98}{10}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 98}{100}} = \frac{\sqrt{784}}{10}$.
Найдем корень из $784$. Так как $20^2=400$ и $30^2=900$, корень находится между 20 и 30. Проверим $28^2 = 784$.
$\frac{28}{10} = \frac{14}{5}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{14}{5}$:
$\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5}$.
Ответ: 2$\frac{4}{5}$.

з) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных:
$\sqrt{32,4 \cdot 36,1} = \sqrt{\frac{324}{10} \cdot \frac{361}{10}} = \sqrt{\frac{324 \cdot 361}{100}}$.
Извлечем корень из числителя и знаменателя, зная что $\sqrt{324}=18$ и $\sqrt{361}=19$:
$\frac{\sqrt{324} \cdot \sqrt{361}}{\sqrt{100}} = \frac{18 \cdot 19}{10} = \frac{342}{10} = \frac{171}{5}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{171}{5}$:
$\frac{171}{5} = 34\frac{1}{5}$.
Ответ: 34$\frac{1}{5}$.

и) Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и разложим числители на множители:
$\sqrt{28,8 \cdot 33,8} = \sqrt{\frac{288}{10} \cdot \frac{338}{10}} = \sqrt{\frac{288 \cdot 338}{100}}$.
$288 = 2 \cdot 144 = 2 \cdot 12^2$
$338 = 2 \cdot 169 = 2 \cdot 13^2$
$\sqrt{\frac{(2 \cdot 144) \cdot (2 \cdot 169)}{100}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 144 \cdot 169}{100}} = \frac{\sqrt{4} \cdot \sqrt{144} \cdot \sqrt{169}}{\sqrt{100}} = \frac{2 \cdot 12 \cdot 13}{10} = \frac{312}{10} = \frac{156}{5}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{156}{5}$:
$\frac{156}{5} = 31\frac{1}{5}$.
Ответ: 31$\frac{1}{5}$.