Номер 1.105, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.105. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{\frac{0,36 \cdot 25}{49}}$;
б) $\sqrt{\frac{1,21}{400 \cdot 0,81}}$;
в) $\sqrt{2\frac{7}{9} \cdot \frac{1}{4}}$;
г) $\sqrt{12\frac{1}{4} \cdot 10,24}$.

а) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{\frac{0,36 \cdot 25}{49}} $, воспользуемся свойствами квадратного корня. Корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя, а корень из произведения равен произведению корней:
$ \sqrt{\frac{0,36 \cdot 25}{49}} = \frac{\sqrt{0,36 \cdot 25}}{\sqrt{49}} = \frac{\sqrt{0,36} \cdot \sqrt{25}}{\sqrt{49}} $
Вычислим значения каждого корня:
$ \sqrt{0,36} = 0,6 $
$ \sqrt{25} = 5 $
$ \sqrt{49} = 7 $
Подставим полученные значения обратно в выражение:
$ \frac{0,6 \cdot 5}{7} = \frac{3}{7} $
Ответ: $ \frac{3}{7} $

б) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{\frac{1,21}{400 \cdot 0,81}} $ применим те же свойства квадратного корня:
$ \sqrt{\frac{1,21}{400 \cdot 0,81}} = \frac{\sqrt{1,21}}{\sqrt{400 \cdot 0,81}} = \frac{\sqrt{1,21}}{\sqrt{400} \cdot \sqrt{0,81}} $
Вычислим значения каждого корня:
$ \sqrt{1,21} = 1,1 $
$ \sqrt{400} = 20 $
$ \sqrt{0,81} = 0,9 $
Подставим значения в выражение:
$ \frac{1,1}{20 \cdot 0,9} = \frac{1,1}{18} $
Чтобы избавиться от десятичной дроби в числителе, умножим числитель и знаменатель на 10:
$ \frac{1,1 \cdot 10}{18 \cdot 10} = \frac{11}{180} $
Ответ: $ \frac{11}{180} $

в) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{2\frac{7}{9} \cdot \frac{1}{4}} $, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.
$ 2\frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{18 + 7}{9} = \frac{25}{9} $
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$ \sqrt{\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 1}{9 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{25}{36}} $
Используем свойство корня из дроби:
$ \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6} $
Ответ: $ \frac{5}{6} $

г) Для нахождения значения выражения $ \sqrt{12\frac{1}{4} \cdot 10,24} $ преобразуем оба множителя в обыкновенные дроби.
Преобразуем смешанное число:
$ 12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{49}{4} $
Преобразуем десятичную дробь:
$ 10,24 = \frac{1024}{100} $
Подставим дроби в выражение под корнем:
$ \sqrt{\frac{49}{4} \cdot \frac{1024}{100}} = \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{1024}}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{100}} $
Вычислим значения корней:
$ \sqrt{49} = 7 $
$ \sqrt{1024} = 32 $
$ \sqrt{4} = 2 $
$ \sqrt{100} = 10 $
Подставим вычисленные значения:
$ \frac{7 \cdot 32}{2 \cdot 10} = \frac{224}{20} $
Сократим полученную дробь:
$ \frac{224}{20} = \frac{112}{10} = \frac{56}{5} $
Так как это неправильная дробь, выделим из нее целую часть:
$ \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5} $
Ответ: $ \mathbf{11}\frac{1}{5} $