Номер 1.102, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.102. Найдите значение выражения, используя свойство квадратного корня из частного:

а) $\sqrt{\frac{36}{49}}$;

б) $\sqrt{\frac{9}{625}}$;

в) $\sqrt{\frac{169}{64}}$;

г) $\sqrt{\frac{10000}{121}}$;

д) $\sqrt{3\frac{1}{16}}$;

е) $\sqrt{2\frac{7}{81}}$.

Для решения всех пунктов используется свойство квадратного корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ для $a \ge 0$ и $b > 0$. Это свойство означает, что корень из дроби равен дроби от корней числителя и знаменателя.

а) Применяем свойство корня из частного к выражению $\sqrt{\frac{36}{49}}$:

$\sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$

Ответ: $\frac{6}{7}$.

б) Применяем свойство корня из частного к выражению $\sqrt{\frac{9}{625}}$:

$\sqrt{\frac{9}{625}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{625}} = \frac{3}{25}$

Ответ: $\frac{3}{25}$.

в) Применяем свойство корня из частного к выражению $\sqrt{\frac{169}{64}}$:

$\sqrt{\frac{169}{64}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{64}} = \frac{13}{8}$

Полученная дробь $\frac{13}{8}$ является неправильной. Преобразуем её в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{13}{8} = 1\frac{5}{8}$

Ответ: $\mathbf{1}\frac{5}{8}$.

г) Применяем свойство корня из частного к выражению $\sqrt{\frac{10000}{121}}$:

$\sqrt{\frac{10000}{121}} = \frac{\sqrt{10000}}{\sqrt{121}} = \frac{100}{11}$

Полученная дробь $\frac{100}{11}$ является неправильной. Преобразуем её в смешанное число:

$\frac{100}{11} = 9\frac{1}{11}$

Ответ: $\mathbf{9}\frac{1}{11}$.

д) Выражение $\sqrt{3\frac{1}{16}}$ содержит смешанное число под корнем. Сначала необходимо представить его в виде неправильной дроби:

$3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48 + 1}{16} = \frac{49}{16}$

Теперь извлекаем корень из полученной дроби:

$\sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \frac{7}{4}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{7}{4}$ в смешанное число:

$\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ответ: $\mathbf{1}\frac{3}{4}$.

е) Выражение $\sqrt{2\frac{7}{81}}$ также содержит смешанное число. Представим его в виде неправильной дроби:

$2\frac{7}{81} = \frac{2 \cdot 81 + 7}{81} = \frac{162 + 7}{81} = \frac{169}{81}$

Теперь извлекаем корень из полученной дроби:

$\sqrt{\frac{169}{81}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{81}} = \frac{13}{9}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{13}{9}$ в смешанное число:

$\frac{13}{9} = 1\frac{4}{9}$

Ответ: $\mathbf{1}\frac{4}{9}$.