Номер 1.107, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.107. Найдите значение частного, используя свойство корня:

а) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}};

б) $\frac{\sqrt{47}}{\sqrt{4700}};

в) $\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}};

г) $\frac{\sqrt{14,7}}{\sqrt{0,3}};

д) $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25,6}};

е) $\frac{\sqrt{72,2}}{\sqrt{0,2}}.$

Для решения всех примеров воспользуемся свойством корня из частного: при $a \ge 0$ и $b > 0$ справедливо равенство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Это свойство позволяет нам объединить два корня в один и упростить подкоренное выражение перед извлечением корня.

а) Используя свойство частного корней, запишем выражение под один корень: $$ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{45}} = \sqrt{\frac{5}{45}} $$ Сократим дробь под знаком корня, разделив числитель и знаменатель на 5: $$ \sqrt{\frac{5}{45}} = \sqrt{\frac{1}{9}} $$ Теперь извлечем квадратный корень: $$ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\frac{1}{3}$

б) Применим свойство частного корней: $$ \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{4700}} = \sqrt{\frac{47}{4700}} $$ Сократим подкоренное выражение, разделив числитель и знаменатель на 47: $$ \sqrt{\frac{47}{4700}} = \sqrt{\frac{1}{100}} $$ Извлечем квадратный корень: $$ \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} $$ Ответ: $\frac{1}{10}$

в) Запишем частное корней как корень из частного: $$ \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{216}{6}} $$ Выполним деление под знаком корня: $$ 216 \div 6 = 36 $$ Получаем: $$ \sqrt{36} = 6 $$ Ответ: 6

г) Применим свойство частного корней: $$ \frac{\sqrt{14,7}}{\sqrt{0,3}} = \sqrt{\frac{14,7}{0,3}} $$ Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на 10: $$ \sqrt{\frac{14,7 \cdot 10}{0,3 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{147}{3}} $$ Выполним деление: $$ 147 \div 3 = 49 $$ Получаем: $$ \sqrt{49} = 7 $$ Ответ: 7

д) Запишем частное корней как корень из частного: $$ \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25,6}} = \sqrt{\frac{10}{25,6}} $$ Умножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе: $$ \sqrt{\frac{10 \cdot 10}{25,6 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{100}{256}} $$ Извлечем корень из числителя и знаменателя: $$ \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{256}} = \frac{10}{16} $$ Сократим полученную дробь на 2: $$ \frac{10}{16} = \frac{5}{8} $$ Ответ: $\frac{5}{8}$

е) Применим свойство частного корней: $$ \frac{\sqrt{72,2}}{\sqrt{0,2}} = \sqrt{\frac{72,2}{0,2}} $$ Умножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на 10: $$ \sqrt{\frac{72,2 \cdot 10}{0,2 \cdot 10}} = \sqrt{\frac{722}{2}} $$ Выполним деление: $$ 722 \div 2 = 361 $$ Получаем: $$ \sqrt{361} $$ Квадратный корень из 361 равен 19, так как $19^2 = 361$. $$ \sqrt{361} = 19 $$ Ответ: 19