Номер 1.134, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.134. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{7^6}$;

б) $\sqrt{15^2 \cdot 2^8}$;

в) $\sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2}$;

г) $\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^{10}}{5^4}}$;

д) $\sqrt{\frac{7^4}{2^8 \cdot 5^6}}$;

е) $\sqrt{\frac{13^2 \cdot 5^4}{2^{10}}}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{7^6}$, воспользуемся свойством степени и свойством арифметического квадратного корня.
Представим подкоренное выражение $7^6$ в виде квадрата некоторого числа. Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:
$7^6 = 7^{3 \cdot 2} = (7^3)^2$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\sqrt{(7^3)^2}$.
Согласно свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = a$ для любого неотрицательного числа $a$. Так как $7^3 > 0$, мы можем применить это свойство:
$\sqrt{(7^3)^2} = 7^3$.
Осталось вычислить $7^3$:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
Ответ: 343.

б) Для вычисления $\sqrt{15^2 \cdot 2^8}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).
$\sqrt{15^2 \cdot 2^8} = \sqrt{15^2} \cdot \sqrt{2^8}$.
Теперь вычислим каждый множитель отдельно:
$\sqrt{15^2} = 15$.
Для $\sqrt{2^8}$ представим $2^8$ как $(2^4)^2$. Тогда $\sqrt{2^8} = \sqrt{(2^4)^2} = 2^4$.
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Теперь перемножим полученные значения:
$15 \cdot 16 = 240$.
Ответ: 240.

в) Найдем значение выражения $\sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{2^6 \cdot 3^4 \cdot 5^2} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{5^2}$.
Вычислим каждый корень, представив подкоренные выражения в виде квадратов:
$\sqrt{2^6} = \sqrt{(2^3)^2} = 2^3 = 8$.
$\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$.
$\sqrt{5^2} = 5$.
Перемножим результаты:
$8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.
Ответ: 360.

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^{10}}{5^4}}$, воспользуемся свойством корня из частного (дроби): $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$).
$\sqrt{\frac{3^2 \cdot 2^{10}}{5^4}} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 2^{10}}}{\sqrt{5^4}}$.
Вычислим числитель: $\sqrt{3^2 \cdot 2^{10}} = \sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2^{10}} = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96$.
Вычислим знаменатель: $\sqrt{5^4} = \sqrt{(5^2)^2} = 5^2 = 25$.
В результате получаем дробь $\frac{96}{25}$.
Это неправильная дробь, поэтому выделим из нее целую часть. Для этого разделим 96 на 25 с остатком:
$96 : 25 = 3$ (остаток $96 - 3 \cdot 25 = 96 - 75 = 21$).
Таким образом, $\frac{96}{25} = 3\frac{21}{25}$.
Ответ: $3\frac{21}{25}$.

д) Найдем значение выражения $\sqrt{\frac{7^4}{2^8 \cdot 5^6}}$.
Применим свойство корня из дроби:
$\sqrt{\frac{7^4}{2^8 \cdot 5^6}} = \frac{\sqrt{7^4}}{\sqrt{2^8 \cdot 5^6}} = \frac{\sqrt{7^4}}{\sqrt{2^8} \cdot \sqrt{5^6}}$.
Вычислим значение числителя: $\sqrt{7^4} = \sqrt{(7^2)^2} = 7^2 = 49$.
Вычислим значение знаменателя: $\sqrt{2^8} \cdot \sqrt{5^6} = 2^4 \cdot 5^3 = 16 \cdot 125 = 2000$.
В результате получаем дробь $\frac{49}{2000}$. Это правильная дробь.
Ответ: $\frac{49}{2000}$.

е) Найдем значение выражения $\sqrt{\frac{13^2 \cdot 5^4}{2^{10}}}$.
Используем свойство корня из дроби:
$\sqrt{\frac{13^2 \cdot 5^4}{2^{10}}} = \frac{\sqrt{13^2 \cdot 5^4}}{\sqrt{2^{10}}}$.
Вычислим числитель: $\sqrt{13^2 \cdot 5^4} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{5^4} = 13 \cdot 5^2 = 13 \cdot 25 = 325$.
Вычислим знаменатель: $\sqrt{2^{10}} = \sqrt{(2^5)^2} = 2^5 = 32$.
Получаем неправильную дробь $\frac{325}{32}$.
Выделим целую часть, разделив 325 на 32 с остатком:
$325 : 32 = 10$ (остаток $325 - 10 \cdot 32 = 325 - 320 = 5$).
Следовательно, $\frac{325}{32} = 10\frac{5}{32}$.
Ответ: $10\frac{5}{32}$.