Номер 1.145, страница 45 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.145. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{(x - 3)^2}$ при $x \ge 3$;

б) $y = \sqrt{(x + 1)^2}$ при $x \le -1$;

в) $y = \sqrt{(x - 5)^2} - \sqrt{(x - 1)^2}$ при $1 \le x \le 5$.

Ответ: а)

Для построения графика функции $y = \sqrt{(x-3)^2}$ при $x \ge 3$, сначала упростим данное выражение. Используем свойство арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$.

Получаем: $y = |x - 3|$.

По условию, функция рассматривается при $x \ge 3$. На этом промежутке выражение под знаком модуля $x-3$ является неотрицательным, то есть $x-3 \ge 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|x-3| = x-3$.

Таким образом, функция принимает вид $y = x-3$.

Графиком этой линейной функции является прямая. Учитывая ограничение $x \ge 3$, нам нужно построить часть этой прямой — луч, начинающийся в точке, где $x=3$.

Найдем координаты начальной точки луча:

при $x=3$, $y = 3 - 3 = 0$. Начальная точка — $(3, 0)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=5$:

при $x=5$, $y = 5 - 3 = 2$. Вторая точка — $(5, 2)$.

Графиком функции является луч, выходящий из точки $(3, 0)$ и проходящий через точку $(5, 2)$.

Ответ: б)

Для построения графика функции $y = \sqrt{(x+1)^2}$ при $x \le -1$, упростим выражение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Получаем: $y = |x + 1|$.

По условию, функция рассматривается при $x \le -1$. На этом промежутке выражение под знаком модуля $x+1$ является неположительным, то есть $x+1 \le 0$.

Следовательно, по определению модуля, $|x+1| = -(x+1) = -x-1$.

Таким образом, функция принимает вид $y = -x-1$.

Графиком этой линейной функции является прямая. Учитывая ограничение $x \le -1$, нам нужно построить луч, начинающийся в точке, где $x=-1$.

Найдем координаты начальной точки луча:

при $x=-1$, $y = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$. Начальная точка — $(-1, 0)$.

Для построения луча найдем еще одну точку, например, при $x=-3$:

при $x=-3$, $y = -(-3) - 1 = 3 - 1 = 2$. Вторая точка — $(-3, 2)$.

Графиком функции является луч, выходящий из точки $(-1, 0)$ и проходящий через точку $(-3, 2)$.

Ответ: в)

Для построения графика функции $y = \sqrt{(x-5)^2} - \sqrt{(x-1)^2}$ при $1 \le x \le 5$, упростим выражение, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Получаем: $y = |x-5| - |x-1|$.

Функция рассматривается на отрезке $[1, 5]$. Раскроем каждый модуль на этом отрезке:

1. Модуль $|x-5|$. Поскольку $x \le 5$, выражение $x-5$ неположительно ($x-5 \le 0$). Следовательно, $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.

2. Модуль $|x-1|$. Поскольку $x \ge 1$, выражение $x-1$ неотрицательно ($x-1 \ge 0$). Следовательно, $|x-1| = x-1$.

Теперь подставим раскрытые модули обратно в уравнение функции:

$y = (5-x) - (x-1)$

Раскроем скобки и упростим:

$y = 5 - x - x + 1 = -2x + 6$.

Таким образом, на отрезке $[1, 5]$ функция имеет вид $y = -2x+6$.

Графиком этой линейной функции является прямая, а с учетом ограничений — отрезок.

Найдем координаты концов этого отрезка:

При $x=1$, $y = -2(1) + 6 = 4$. Первая точка — $(1, 4)$.

При $x=5$, $y = -2(5) + 6 = -10 + 6 = -4$. Вторая точка — $(5, -4)$.

Графиком функции является отрезок, соединяющий точки $(1, 4)$ и $(5, -4)$.