Номер 1.142, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.142. Вычислите:

a) $\sqrt{70 - \sqrt{\frac{44^2 - 26^2}{35}}};$

б) $\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \sqrt{\frac{29}{33^2 - 25^2}}}.$

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt{70 - \sqrt{\frac{44^2 - 26^2}{35}}}$ выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение под внутренним корнем. В числителе дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{44^2 - 26^2}{35} = \frac{(44 - 26)(44 + 26)}{35} = \frac{18 \cdot 70}{35}$

2. Сократим дробь:

$\frac{18 \cdot 70}{35} = 18 \cdot 2 = 36$

3. Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sqrt{70 - \sqrt{36}} = \sqrt{70 - 6} = \sqrt{64}$

4. Вычислим конечный результат:

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt{1\frac{7}{9} \cdot \sqrt{\frac{29}{33^2 - 25^2}}}$ выполним действия по шагам.

1. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{7}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

2. Далее упростим выражение под внутренним корнем. В знаменателе дроби применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{29}{33^2 - 25^2} = \frac{29}{(33 - 25)(33 + 25)} = \frac{29}{8 \cdot 58}$

3. Сократим полученную дробь, заметив, что $58 = 2 \cdot 29$:

$\frac{29}{8 \cdot 2 \cdot 29} = \frac{1}{16}$

4. Извлечем внутренний корень:

$\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$

5. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\sqrt{\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 1}{9 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{16}{36}}$

6. Упростим дробь под корнем и извлечем корень:

$\sqrt{\frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$