Номер 1.152, страница 46 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.152. Найдите значение выражения:

а) $\sqrt{\frac{64 \cdot 0,49}{81}};$

б) $\sqrt{\frac{1,69}{900 \cdot 0,25}};$

в) $\sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 9};$

г) $\sqrt{2,25 \cdot \frac{25}{49}}.$

а) Для решения воспользуемся свойствами корня: корень из частного равен частному корней, а корень из произведения равен произведению корней. Это можно записать одной формулой: $\sqrt{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$.
$\sqrt{\frac{64 \cdot 0,49}{81}} = \frac{\sqrt{64} \cdot \sqrt{0,49}}{\sqrt{81}} = \frac{8 \cdot 0,7}{9} = \frac{5,6}{9}$
Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь в числителе в обыкновенную: $5,6 = \frac{56}{10}$.
$\frac{5,6}{9} = \frac{\frac{56}{10}}{9} = \frac{56}{10 \cdot 9} = \frac{56}{90}$
Сократим полученную дробь на 2:
$\frac{56}{90} = \frac{28}{45}$
Ответ: $\frac{28}{45}$

б) Применим те же свойства квадратного корня:
$\sqrt{\frac{1,69}{900 \cdot 0,25}} = \frac{\sqrt{1,69}}{\sqrt{900 \cdot 0,25}} = \frac{\sqrt{1,69}}{\sqrt{900} \cdot \sqrt{0,25}} = \frac{1,3}{30 \cdot 0,5} = \frac{1,3}{15}$
Преобразуем десятичную дробь в числителе в обыкновенную: $1,3 = \frac{13}{10}$.
$\frac{1,3}{15} = \frac{\frac{13}{10}}{15} = \frac{13}{10 \cdot 15} = \frac{13}{150}$
Ответ: $\frac{13}{150}$

в) Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:
$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$
Теперь подставим это значение в исходное выражение и извлечем корень, используя свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$:
$\sqrt{5\frac{1}{16} \cdot 9} = \sqrt{\frac{81}{16} \cdot 9} = \sqrt{\frac{81}{16}} \cdot \sqrt{9} = \frac{9}{4} \cdot 3 = \frac{27}{4}$
Полученная дробь является неправильной. Выделим из нее целую часть:
$\frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$
Ответ: 6$\frac{3}{4}$

г) Преобразуем десятичную дробь 2,25 в обыкновенную неправильную дробь:
$2,25 = 2\frac{25}{100} = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$
Подставим полученное значение в выражение и вычислим корень:
$\sqrt{2,25 \cdot \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{9}{4} \cdot \frac{25}{49}} = \sqrt{\frac{9}{4}} \cdot \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{14}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{15}{14} = 1\frac{1}{14}$
Ответ: 1$\frac{1}{14}$