Номер 1.367, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.367. Для каждого значения числа $a$ решите совокупность неравенств

$\begin{cases} 11x - 9 \ge 13, \\ x < a. \end{cases}$

Требуется решить совокупность неравенств для каждого значения параметра $a$. Совокупность означает, что нужно найти объединение множеств решений каждого из неравенств.

$$ \left[ \begin{array}{l} 11x - 9 \ge 13, \\ x < a. \end{array} \right. $$

1. Сначала решим первое неравенство:

$$11x - 9 \ge 13$$

Перенесем свободные члены в правую часть:

$$11x \ge 13 + 9$$

$$11x \ge 22$$

Разделим обе части на 11:

$$x \ge \frac{22}{11}$$

Дробь $\frac{22}{11}$ является неправильной и ее значение равно 2. Выделим целую часть:

$$x \ge \mathbf{2}$$

Решение первого неравенства — это множество $x \in [2, +\infty)$.

2. Второе неравенство $x < a$ уже представлено в решенном виде. Его решение — это множество $x \in (-\infty, a)$.

3. Решение совокупности является объединением этих двух множеств: $x \in [2, +\infty) \cup (-\infty, a)$.

Вид итогового решения зависит от взаимного расположения точки $a$ и точки $2$ на числовой оси. Проанализируем все возможные случаи.

1. Если $a \ge 2$:

В этом случае промежуток $(-\infty, a)$ и промежуток $[2, +\infty)$ пересекаются или соприкасаются. Их объединение покрывает всю числовую прямую. Например, при $a=2$ мы получаем объединение $(-\infty, 2) \cup [2, +\infty)$, что дает $(-\infty, +\infty)$. При $a>2$ промежуток $(-\infty, a)$ "перекрывает" начало второго промежутка, и объединение также дает всю числовую прямую.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

2. Если $a < 2$:

В этом случае точка $a$ находится строго левее точки $2$. Промежутки $(-\infty, a)$ и $[2, +\infty)$ не имеют общих точек. Их объединение так и записывается в виде двух непересекающихся интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty, a) \cup [2, +\infty)$.