Номер 1.374, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.374. Придумайте систему двух линейных неравенств, решением которой:

а) является число 3 и не является число 2;

б) является число $\sqrt{3}$ и число $\sqrt{5}$.

а) Требуется придумать систему двух линейных неравенств, решением которой является число 3, но не является число 2. Это означает, что множество решений системы должно включать число 3 и не включать число 2.

Для этого можно выбрать числовой промежуток, который удовлетворяет данному условию. Например, интервал $(2,5; 4)$. Число 3 принадлежит этому интервалу, так как $2,5 < 3 < 4$. Число 2 не принадлежит этому интервалу, так как 2 не больше 2,5.

Интервал $(2,5; 4)$ задается системой неравенств: $$ \begin{cases} x > 2,5 \\ x < 4 \end{cases} $$ Представим эти неравенства в виде линейных неравенств $ax + b > 0$ (или $ax + b < 0$).
Первое неравенство: $x > 2,5$. Перепишем 2,5 в виде неправильной дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$. Неравенство принимает вид $x > \frac{5}{2}$. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $2x > 5$. Перенесем 5 в левую часть: $2x - 5 > 0$.
Второе неравенство: $x < 4$. Перенесем 4 в левую часть: $x - 4 < 0$.
Таким образом, мы получили искомую систему. Решением этой системы является интервал $x \in (\frac{5}{2}; 4)$, или, выделяя целую часть, $x \in (2\frac{1}{2}; 4)$. Этот интервал содержит 3, но не содержит 2.

Ответ: $$ \begin{cases} 2x - 5 > 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases} $$

б) Требуется придумать систему двух линейных неравенств, решением которой являются числа $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

Это означает, что оба числа, $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$, должны принадлежать множеству решений системы.
Оценим значения этих чисел: $\sqrt{3} \approx 1,732$, а $\sqrt{5} \approx 2,236$.

Нам нужно найти такой промежуток, который содержит оба этих числа. Например, можно взять интервал $(1; 3)$. Проверим, принадлежат ли ему наши числа:

• Для $\sqrt{3}$: $1 < \sqrt{3} < 3$. Возведем все части в квадрат: $1^2 < (\sqrt{3})^2 < 3^2$, что дает $1 < 3 < 9$. Это верное неравенство, значит, $\sqrt{3}$ принадлежит интервалу $(1; 3)$.
• Для $\sqrt{5}$: $1 < \sqrt{5} < 3$. Возведем все части в квадрат: $1^2 < (\sqrt{5})^2 < 3^2$, что дает $1 < 5 < 9$. Это также верное неравенство, значит, $\sqrt{5}$ принадлежит интервалу $(1; 3)$.

Интервал $(1; 3)$ является решением системы неравенств: $$ \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases} $$ Запишем эту систему в стандартном виде:

Ответ: $$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 3 < 0 \end{cases} $$