Номер 1.375, страница 91 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.375. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 3x < 6, \\ 5x - 3 \geq 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 1 - 3x \leq 16, \\ x + 9 < 9; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 2x + 9 \geq 4x - 6, \\ 10 + 4x \geq 0; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 5 - x < x + 4, \\ 7x - 1 > 1 - 6x; \end{cases} $

д) $ \begin{cases} 4x \leq -x + 15, \\ -3x + 4 \geq -5; \end{cases} $

e) $ \begin{cases} 7x - 3 < 6x + 2, \\ -2x + 9 \geq -x + 4. \end{cases} $

а) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x < 6, \\ 5x - 3 \ge 0; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$3x < 6$
$x < \frac{6}{3}$
$x < 2$
2. Решим второе неравенство:
$5x - 3 \ge 0$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$
3. Найдем пересечение решений $x < 2$ и $x \ge \frac{3}{5}$. Это соответствует интервалу $[\frac{3}{5}, 2)$.
Ответ: $[\frac{3}{5}, 2)$

б) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 1 - 3x \le 16, \\ x + 9 < 9; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$1 - 3x \le 16$
$-3x \le 16 - 1$
$-3x \le 15$
При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge \frac{15}{-3}$
$x \ge -5$
2. Решим второе неравенство:
$x + 9 < 9$
$x < 9 - 9$
$x < 0$
3. Найдем пересечение решений $x \ge -5$ и $x < 0$. Это соответствует интервалу $[-5, 0)$.
Ответ: $[-5, 0)$

в) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x + 9 \ge 4x - 6, \\ 10 + 4x \ge 0; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$2x - 4x \ge -6 - 9$
$-2x \ge -15$
При делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{15}{2}$
2. Решим второе неравенство:
$4x \ge -10$
$x \ge -\frac{10}{4}$
$x \ge -\frac{5}{2}$
3. Найдем пересечение решений $x \ge -\frac{5}{2}$ и $x \le \frac{15}{2}$. Решением является отрезок $[-\frac{5}{2}, \frac{15}{2}]$. Преобразуем неправильные дроби в смешанные числа, чтобы выделить целую часть:
$-\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$
$\frac{15}{2} = 7\frac{1}{2}$
Ответ: $[-\mathbf{2}\frac{1}{2}, \mathbf{7}\frac{1}{2}]$

г) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 5 - x < x + 4, \\ 7x - 1 > 1 - 6x; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$5 - 4 < x + x$
$1 < 2x$
$x > \frac{1}{2}$
2. Решим второе неравенство:
$7x + 6x > 1 + 1$
$13x > 2$
$x > \frac{2}{13}$
3. Найдем пересечение решений $x > \frac{1}{2}$ и $x > \frac{2}{13}$. Так как $\frac{1}{2} > \frac{2}{13}$, то общее решение — это более строгое неравенство $x > \frac{1}{2}$.
Ответ: $(\frac{1}{2}, +\infty)$

д) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 4x \le -x + 15, \\ -3x + 4 > -5; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$4x + x \le 15$
$5x \le 15$
$x \le 3$
2. Решим второе неравенство:
$-3x > -5 - 4$
$-3x > -9$
При делении на -3 знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 3$
3. Найдем пересечение решений $x \le 3$ и $x < 3$. Общим решением является более строгое неравенство $x < 3$.
Ответ: $(-\infty, 3)$

е) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 7x - 3 < 6x + 2, \\ -2x + 9 \ge -x + 4; \end{cases}$
1. Решим первое неравенство:
$7x - 6x < 2 + 3$
$x < 5$
2. Решим второе неравенство:
$-2x + x \ge 4 - 9$
$-x \ge -5$
При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 5$
3. Найдем пересечение решений $x < 5$ и $x \le 5$. Общим решением является более строгое неравенство $x < 5$.
Ответ: $(-\infty, 5)$