Номер 2.219, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.219. Решите уравнение двумя способами:

a) $(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 5 = 0;$

б) $(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0.$

Способ 1: Метод замены переменной

Введем новую переменную $y = x - 2$. Подставим ее в исходное уравнение $(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 5 = 0$:

$y^2 - 4y - 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Согласно теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 4$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -5$. Отсюда находим корни:

$y_1 = 5$

$y_2 = -1$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$:

1) Если $y = 5$, то $x - 2 = 5$, откуда $x_1 = 7$.

2) Если $y = -1$, то $x - 2 = -1$, откуда $x_2 = 1$.

Способ 2: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в уравнении $(x - 2)^2 - 4(x - 2) - 5 = 0$ и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - 4x + 4) - 4x + 8 - 5 = 0$

$x^2 - 4x - 4x + 4 + 8 - 5 = 0$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 7$. Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = 1$.

Оба способа приводят к одинаковым корням.

Способ 1: Метод замены переменной

Введем новую переменную $y = x^2 + 3$. Подставим ее в исходное уравнение $(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0$:

$y^2 - 11y + 28 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 11$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = 28$. Корнями являются $y_1 = 7$ и $y_2 = 4$.

Выполним обратную замену. Поскольку $x^2 \ge 0$, то $y = x^2+3 \ge 3$. Оба найденных значения $y$ (7 и 4) удовлетворяют этому условию.

1) Если $y = 7$, то $x^2 + 3 = 7 \implies x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2$.

2) Если $y = 4$, то $x^2 + 3 = 4 \implies x^2 = 1 \implies x_{3,4} = \pm 1$.

Способ 2: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в уравнении $(x^2 + 3)^2 - 11(x^2 + 3) + 28 = 0$:

$(x^4 + 6x^2 + 9) - 11x^2 - 33 + 28 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = x^2$, где $z \ge 0$:

$z^2 - 5z + 4 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения для $z$ равны $z_1 = 4$ и $z_2 = 1$. Оба корня неотрицательны и подходят для обратной замены.

Вернемся к переменной $x$:

1) Если $z = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm 2$.

2) Если $z = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

Оба способа приводят к одинаковым результатам.