Номер 2.213, страница 141 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.213. Решите систему неравенств $ \begin{cases} 3x - 2 < 1,5x + 1, \\ 4 - 2x \geq x - 2. \end{cases} $

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение (общую часть) их решений.

Решение первого неравенства $3x - 2 < 1,5x + 1$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть неравенства, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные.

$3x - 1,5x < 1 + 2$

Приведем подобные слагаемые:

$1,5x < 3$

Разделим обе части неравенства на положительное число 1,5. Знак неравенства при этом не меняется.

$x < \frac{3}{1,5}$

$x < 2$

Решением первого неравенства является интервал $(-\infty; 2)$.

Решение второго неравенства $4 - 2x \ge x - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую, чтобы работать с положительным коэффициентом при $x$.

$4 + 2 \ge x + 2x$

Упростим обе части неравенства:

$6 \ge 3x$

Разделим обе части на положительное число 3. Знак неравенства не изменится.

$2 \ge x$

Это неравенство равносильно $x \le 2$.

Решением второго неравенства является числовой луч $(-\infty; 2]$.

Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений первого и второго неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно обоим условиям: $x < 2$ и $x \le 2$.

Условие $x < 2$ является более строгим, так как оно исключает значение $x=2$. Любое число, которое меньше 2, автоматически будет и меньше либо равно 2. Следовательно, пересечением этих двух множеств является множество чисел, удовлетворяющих более строгому неравенству.

Таким образом, пересечение интервалов $(-\infty; 2)$ и $(-\infty; 2]$ есть интервал $(-\infty; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.