Номер 2.206, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.206. Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 545.

Для нахождения двух последовательных целых чисел, сумма квадратов которых равна 545, введем переменную. Пусть первое целое число — это $n$. Тогда следующее за ним последовательное целое число — это $n+1$.

Согласно условию задачи, сумма их квадратов равна 545. Это можно записать в виде уравнения:

$n^2 + (n+1)^2 = 545$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы решить его:

$n^2 + n^2 + 2n + 1 = 545$

Приведем подобные слагаемые:

$2n^2 + 2n + 1 = 545$

Перенесем 545 в левую часть уравнения:

$2n^2 + 2n - 544 = 0$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$n^2 + n - 272 = 0$

Получилось приведенное квадратное уравнение. Для его решения найдем дискриминант ($D$) по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=1$, $c=-272$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-272) = 1 + 1088 = 1089$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{-1 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{-1 + 33}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$n_2 = \frac{-1 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{-1 - 33}{2} = \frac{-34}{2} = -17$

Мы получили два возможных значения для первого числа, $n$. Это означает, что существует две пары чисел, удовлетворяющих условию.

1. Для $n=16$:
Первое число: 16.
Второе число: $16 + 1 = 17$.
Проверка: $16^2 + 17^2 = 256 + 289 = 545$.

2. Для $n=-17$:
Первое число: -17.
Второе число: $-17 + 1 = -16$.
Проверка: $(-17)^2 + (-16)^2 = 289 + 256 = 545$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары последовательных целых чисел.

Первая пара чисел. Ответ: 16 и 17.

Вторая пара чисел. Ответ: -17 и -16.