Номер 2.204, страница 140 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.204. На одном и том же расстоянии от стен комнаты прямоугольной формы площадью $24\text{ м}^2$ находится ковер размерами $3 \times 5\text{ м}$. В комнате вдоль одной из стен планируют поставить шкаф размерами $60 \times 120 \times 200\text{ см}$ так, чтобы не задеть ковер. Удастся ли это сделать?

Для ответа на вопрос необходимо выполнить два шага: сначала найти расстояние от ковра до стен, а затем сравнить это расстояние с размерами шкафа.

1. Определение расстояния от ковра до стен
Пусть $x$ — это искомое одинаковое расстояние от ковра до каждой из стен комнаты (в метрах). Размеры ковра составляют $3$ м на $5$ м. Следовательно, размеры комнаты можно выразить как $(3 + 2x)$ м и $(5 + 2x)$ м. Площадь комнаты по условию равна $24$ м². Составим уравнение на основе формулы площади прямоугольника $S = a \cdot b$:

$(3 + 2x)(5 + 2x) = 24$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$15 + 6x + 10x + 4x^2 = 24$

$4x^2 + 16x + 15 - 24 = 0$

$4x^2 + 16x - 9 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 256 + 144 = 400$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 \pm 20}{8}$

Один корень будет положительным, другой — отрицательным:

$x_1 = \frac{-16 + 20}{8} = \frac{4}{8} = 0,5$ м

$x_2 = \frac{-16 - 20}{8} = \frac{-36}{8} = -4,5$ м

Так как расстояние не может быть отрицательной величиной, единственным верным решением является $x = 0,5$ м. Ответ: расстояние от ковра до каждой стены составляет 0,5 м.

2. Проверка возможности установки шкафа
Шкаф планируется поставить вдоль одной из стен. Его размеры у основания составляют $60 \times 120$ см. Чтобы шкаф не задел ковер, его глубина (меньшая сторона основания) не должна превышать расстояние от стены до ковра. Переведем глубину шкафа в метры:

$60$ см $= 0,6$ м

Теперь сравним глубину шкафа с расстоянием от стены до ковра:

$0,6$ м $> 0,5$ м

Глубина шкафа ($0,6$ м) больше, чем свободное пространство между стеной и ковром ($0,5$ м). Следовательно, поставить шкаф так, чтобы он не задевал ковер, невозможно. Ответ: нет, не удастся.